倍角三角形三边关系的证明(倍边三角形是什么)

导语：一例特殊“倍角三角形”三边关系（1/a=1/b+1/c）的证明

题目：在三角形ABC中，∠A：∠B：∠C=1:2:4，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，求证：1/a=1/b+1/c

解法一：如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”。倍角三角形的性质之一：两倍角和单倍角所对边的平方差等于单倍角所对边与第三边的积。依据这个原理，我们可见本题中有两个两倍角关系，分别列出两个代数式。

1.∠B=2∠A：b ²-a ²=a·c

2.∠C=2∠B：c ²-B ²=b·a

经代数运算即可证明1/a=1/b+1/c成立。

解法二：如图2，延长AC到D，使CB=CD；AB上取E点，使CB=CE。连接BD。根据辅助线及180°=7θ逐一标出各角大小于图中，得出以下关系。

△BCE≌△BCD，BE=BD=c﹣a。

△ABC∽三角形ADB，AB/AD=AC/AB=BC/BD,即c/a+b=b/c=a/c-a。经代数运算即可证明等式成立。

解法三：将三角形ABC三边通过等量代换构造一个经典的“山”字标准图形（辅助圆法证明1/a + 1/b = 1/c型线段和）。如图3，过A点作AD平行于BC，使AD=AB，连接DB并延长交AC的延长线于E点，过E作EF平行于BC交AB延长线于F。这样就可以得出1/a=1/c+1/EF，剩下证明EF=AC=b就行了。在CE上取G点，使BG=BC，根据图中线段和角度关系，可以证明△FGE全等于三角形ABC，这样EF=AC=b，最终证明1/a=1/b+1/c。

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