高考中的数列问题(高考数列题型及解题方法)

导语：高考数学数列问题12分，一篇文章帮你搞定

（说明一下，本文篇幅很长，我花了很长时间才写完。尽力在讲明白数列问题的同时，融入我多年学习与教学的思考和经验，里面涉及到学习的方法、心得和体会，希望对有需要的朋友有所帮助）

数列是高考数学的必考点，一般会考一道大题12分，第一小问6分比较简单，第二小问6分难度中等或偏上。可能有很多同学认为数列问题很难，看到数列问题心里是有点害怕的。那多半是因为对数列的基础知识掌握得不牢，基本方法总结得不够，导致在面对数列问题时，自信心不足，存在畏难情绪。

根据我的经验，大部分中等成绩的学生，在面对题目时，会高估题目的难度，低估自己的实力，从而在做题时没有信心，更没有思路。而成绩好的同学，能够正确判断题目难度，知道该选择什么方法，思路很明确，从而能够充满信心地做题。

他们之间的差别在哪里，不在于努力程度，而在于善不善于总结。可能一个中等成绩的学生，做的题目很多，但是你要问他这些题目考察了什么知识点，使用了什么方法，遇到什么问题具体可以使用哪些方法，他们是茫然的，关键原因还是平时不善于做总结。而成绩优秀的学生一般比较善于总结，所以他们对一道题目考察了什么知识，使用什么方法，在读题的时候就了然于心，做题时自然胸有成竹，信心满满。

面对一道题目，没有信心和有信心，做题的状态和结果是截然不同的。

所以，今天我们通过对数列问题的讲解，不仅要讲解清楚数列问题的基础知识，基本方法，更要学习怎样对基础知识和方法进行总结，怎样对题目进行分析，怎样提高学习的信心。

什么是数列，简单来说，就是一些数字排成一个队列，比如1 、 2 、 5、 6、 9……，这是一个数列，比如1、 3 、5、 7、 9……这也是一个数列，1、 2、 4、 8、 16 ……也是一个数列。

这三个数列都有其自身的特点。

第一个数列数字之间没有明确的相互关系和规律；

第二个数列，每个数与它前面的数之间的差相等，这样的数列，我们就叫它等差数列；

第三个数列，每个数和它前面的数之间的倍数相等，这样的数列，我们就叫它等比数列。

这是等差数列和等比数列的简单的一个定义。接下来要讨论的所有关于等差数列等比数列的性质和知识，都是从这个基本定义发展起来的。看完这篇文章之后，你会发现原来知识点和知识点之间是有密切的联系的，它们可以用一根线串起来，捋着线头，就可以顺着一路找到线尾。

我们先从等差数列说起。等差数列的一切性质和方法，起源于它的概念：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。

有了这个概念，我们就可以写出无数个等差数列出来，我们就用上面提到的最简单的一个等差数列作为例子，来研究等差数列的基本性质。

数列1： 1 、 3、 5、 7、 9、 ……a（n-1）、 an……

从这个数列中，通过观察和计算，我们可以发现等差数列的很多性质来：

an-a（n-1）=2 、 an=1+2（n-1） 、 2an=a（n-1）+a（n+1）

a1+a4=a2+a3、 进一步还可以得出当m+n=p+q时，am+an=ap+aq。

这些性质只要我们在纸上写一写画一画，是很容易得出来的。那么这些性质是我们通过这个特殊数列发现的，如果放在其他等差数列里，这些性质还存在吗？

接下来，我们开始从特殊到一般的过程。写一个等差数列的一般形式。首项是a1，公差是d.如下

数列2： a1、 a1 +d、 a1 +2d、a1 +3d、……a1 +(n-1)d

显然，这是一个等差数列的通用形式，适用于任何一个等差数列。

容易看出：an-a（n-1）=d 、 an=a1+（n-1）d 、 2an=a（n-1）+a（n+1）

上面三个性质是通过等差数列基本概念可以得出来的。

进一步我们得到，当m+n=p+q时，am+an=ap+aq.

我们对m+n=p+q时，am+an=ap+aq，做一个简单的证明。

因为 am=a1+（m-1）d,an=a1+（n-1）d,ap=a1+（p-1）d,aq=a1+（q-1）d

当m+n=p+q时，

am+an=a1+（m-1）d+a1+（n-1）d=2a1+（m+n-2）d

ap+aq=a1+（p-1）d+a1+（q-1）d=2a1+（p+q-2）d

因为m+n=p+q，所以两式相等，得证。

以上标红的所有等差数列的性质，都是我们从等差数列的概念出发，通过写出一个特殊数列和一般数列，然后通过观察发现，然后进行证明是正确的。我相信同学们只要愿意动手、思考，你们可以发现更多的性质和规律，运用这样的方法，在以后的学习中能够做到触类旁通，闻一知百。

接下来，我们来研究等差数列的和。

同样，我们先写一个简单的等差数列：

数列3： 1、 2、 3、 4、 …… 97、 98、 99 、 100；

这是一个首项是1，公差是1，项数是100的等差数列，怎么求这个数列所有数字的和呢？

肯定很多同学是知道怎么求这个等差数列的和的。没错，就是把这个数列倒转来再写一遍。

1、 2、 3、 4、 …… 97、 98、 99 、 100；

100 、 99、 98、 97 ……4、 3、 2、 1；

上下数字一一对应，容易发现每一组上下对应的数字相加是相等的，都等于101，一个用100组，所以上下两式加起来=101×100=10100，我们要求的是上面数列的和，很显然，上下两个数列和是相等的。 所以数列3的所有数字和=10100÷2=5050.

我们总结一下这个计算方法，得到一个公式：

等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2.

同样，这个公式我们是通过一个特殊数列得到的，对于其他等差数列是否适用，我们需要从特殊推广到一般。还是老办法，写一个等差数列的一般形式，还是用上面用过的数列2.

数列2：a1、 a1 +d、 a1 +2d、a1 +3d、……a1 +(n-1)d

依葫芦画瓢，我们把这个数列倒转来写一遍，两个数列上下一一对应。

a1、 a1 +d、 a1 +2d、…… a1 +(n-3)d、 a1 +(n-2)d、 a1 +(n-1)d

a1 +(n-1)d、a1 +(n-2)d、 a1 +(n-3)d、…… a1 +2d、 a1 +d、 a1

上下一一对应

容易发现上下对应的每组数字相加都等于2a1+(n-1)d。一共有n项，

所以数列2的前n项和=(a1 +an)n/2,

我们把数列的前n项和记作Sn, 所以Sn=(a1 +an)n/2。

因为Sn=a1 +a2+a3+……+an,Sn-1=a1 +a2+a3+……+an-1

所以Sn-Sn-1=an

以上，我们通过一些基本的步骤，从等差数列的概念出发，把等差数列的一些基本性质，基本公式发现并论证出来。

我们把这些性质和公式放在一起，看看它们有什么用处。为了便于区分，我给这几个公式分别取个名字，也有利于说明它们的作用。

等差公式：an-a（n-1）=d 、

通项公式 ：an=a1+（n-1）d 、

等差中项公式：2an=a（n-1）+a（n+1）

等项数和公式：当m+n=p+q时，am+an=ap+aq

前n项和公式：Sn=(a1 +an)n/2=a1 n+(n-1)dn/2

通项表达式：Sn-Sn-1=an

公式的运用：有了这几个公式，我们就可以解决等差数列的绝大部分问题了，比如，要证明某个数列是等差数列，只需证明an-a（n-1）=d 成立，或证明an=a1+（n-1）d，如果已知条件没有an这一项，我们可以通过Sn-Sn-1=an 来得到an的表达式。

如果知道一个数列是等差数列，我们就可以利用an=a1+（n-1）d求出数列的第n项，利用Sn=(a1 +an)n/2求出前n项和。

接下来，我们通过高考真题，来看下怎么运用这些基本性质，基本公式解决问题。

例1：

例1

本题已知等差数列前4项和S4=0，a5=5,可利用前n项和公式：Sn=(a1 +an)n/2=a1 n+(n-1)dn/2，和通项公式 ：an=a1+（n-1）d，联立组成方程组，求解方程得到a1，和d，算出a1，和d，还是根据这两个公式，得到Sn和an的表达式。

解答过程如图1：

图1

总结如下：已知S4和a5,可利用前n项和公式、通项公式求出a1，和d，知道a1，和d，可根据前n项和公式、通项公式，计算任一项值和前n项和的值。

例2：

例2

分析: 本题已知Sm-1,Sm,Sm+1,可利用通项表达式：Sn-Sn-1=an，算出am,am+1的值，利用通项公式an=a1+（n-1）d求解； 也可根据前n项和公式：Sn=(a1 +an)n/2=a1 n+(n-1)dn/2，联立方程组求解。

同时，补充一个等差数列的性质，若数列为等差数列，则Sn/n 为等差数列。

同学们可以根据上面的公式自己证明一下。

本题解析如图2：

图2

总结：本题考察几个数列公式的运用，很灵活，需要通过对本题的三种不同解法熟悉公式的灵活运用，认真分析，争取能有自己独到的体会。

再来看一道大题。

例3：

例3

本题要证明数列是等差数列，需要证明an-a（n-1）=d，已知等式中含有Sn,和an, 根据已知等式写出Sn-1,和an-1的等式，再利用Sn-Sn-1=an，消去Sn,和Sn-1，得到an和a（n-1）的等式，化简得证。第二问，根据公式联立方程求解即可。

解法如图3：

图3

通过上面三道高考真题，我们不难发现，等差数列的求解，最终使用的就是这几个最基本的公式和性质，所以同学们一定要熟练掌握这几个基本公式，知道每个公式具体用法，具体解决什么样的问题。

每做一道题，要思考这道题考察了什么知识点，要解决什么问题，需要用到什么公式和方法，通过不断地总结提升，我相信你的学习能力和自信心都会得到很大提高。

以上，我们从等差数列的一个基本概念开始，一步一步走下来，摸清了等差数列的性质，等差数列的基本公式，利用公式解决了几个高考中的实际问题。我相信，通过以上的学习，你已经牢固的掌握了等差数列的基本知识和方法。并且很重要的一点，通过这样前后贯通的学习，你掌握的知识不在是凌乱的一盘散沙，而是相互联系的统一整体，即使有一天，你忘了公式，或者公式记不清楚，你也不用担心，因为你可以很快通过推导得到正确的公式，还可以通过其他的性质和公式进行验证和判断。这无疑能够极大的提高你的学习效果和自信心。

接下来，我们开始学习等比数列，前面等差数列的推导过程写的很详细，是为了同学们能够熟悉并掌握这种从一个概念一步一步推导出各种公式的方法，等比数列的讲解就不再如此赘述。

等比数列：

同样我们先从等比数列的概念说起：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0）表示。

利用这个概念，我们可以写出等比数列的一般形式：

a1、 a1q、 a1q^2、a1 q^3、……a1 q^(n-1)

我们得到an的通项公式an=a1 q^(n-1)

通项公式推广an=am×q^(n-m) ，可自行证明。

等比数列求和方法如下：

把等比数列每一项乘以q,得到一个新的数列

a1、 a1q、 a1q^2、a1 q^3、……a1 q^(n-1)

a1q、 a1q^2、a1 q^3、……a1 q^(n-1)、 a1q^n

上下两个数列相见得到：

Sn-qSn=a1-a1q^n

化简得到Sn=a1（1-q^n）/(1-q) ；（q≠1）

当q=1时，Sn=na1

以上，我们得到了等比数列的通项公式和前n项和公式，同时，我们也掌握了等比数列前n项和的一种推导方法。请同学们深刻体会这种求和方法，因为在将来的题目中，经常会用到这种方法。比如下面这个题目：

例4：

例4

本题第一问很简单，第二问数列的每一项是一个等比数列和一个等差数列的乘积，要计算这个数列的前n项和，方法还是用等比数列前n项和的方法计算。接下如图4：

图4

从这道题，我们看出掌握基础方法和灵活运用的重要性了吧。希望同学们通过这道题目，熟练掌握这种计算前n项的方法，并能够融会贯通，使它成为你解决等比数列的一个必备技能。

不知不觉，已经写了很多了，可能很多人不会有耐心看完这篇文章，如果你已经耐心看到这里，我会感到很高兴，希望对你有点帮助。

最后，通过今年的一个高考押题题目，结束这篇文章。

例5：

例5

分析：本题求通项公式，那么首先想到要用通项表达式：Sn-Sn-1=an,已知条件通过这个公式进行一个化简，然后用前面讲到的方法就可以得到通项公式了。

第二问，第一眼看上去感觉难度挺大的，但是请同学们遇到这种类型题目时，一定不要害怕，往往形式看上去很难的题目，通常很容易得到化简，这道题目就是。

所以，遇到看似复杂的题目，一定要保持冷静，很多时候简单的题目常常以复杂的面目出现。本题还考察了一个裂项公式，这个裂项公式其实在我们小学的时候就已经接触过了，相信很多同学都已经很熟了，看似复杂，实则简单。

自己如果做完了，再对答案吧。答案如下：

文章有点长，如果你能从头到尾读完这篇文章，并掌握文章涉及到的学习方法，我相信你会有所收获。

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