五猴分桃数学题(五猴分桃标准答案)

导语：有趣的数学--五猴分桃

晚上上网，无意间刷到一题经典有意思的数学题-五猴分桃。儿子晚上晚自习结束回家就迫不及待的让他做了。感觉题目非常考验逻辑能力。题目具体如下：

有5只猴子在桃园摘了一堆桃子，天色已晚决定第二天来平分。第二天清晨，第一只猴子最早来到，它平分成5份还多了一个，就吃了这个，它然后拿上自己的一份走了。第2、3、4、5只猴子也遇到同样的问题， 采用了同样的方法,都吃掉一个后恰好可以分成5份。问这堆桃子至少有多少只？

儿子看了题目说感觉看到过类似的题目，但是完全忘了是怎么解的，然后就开始暴力的找最小值，找规律、列代数式，然后首先得出的结论是好像数量还不小，这五个猴子怎么会会有这么多桃子啊，然后就不去凑最后一个猴的桃子数，老老实实算，用代数的方法最终花了20分钟做出来了，其实只要逻辑清楚，计算量也不是很大。

设原有桃x个，最后剩下y个。那么，每一只猴子连吃带拿，得到了多少桃子呢?

第一只平分5堆又吃掉一个，一共得到

1/5（x-1）+1

它走了，这里留下的桃子还有

4/5（x-1）

第二只猴子平分5堆又吃掉一个，得到了桃子

1/5（4/5（x-1）-1）+1

当第三个猴子来到时，这里还有桃子

4/5（4/5（x-1）-1）

也就是又从原数中减1、再乘4/5。

每来一只猴子，桃子的数目就来个变化——减1、再乘4/5。所以，当第五只猴子来过后，我们已对x进行5次这样的减1、乘4/5的操作了。

这样5次之后，便得到了又y。所以，我们有

y=4/5(4/5(4/5(4/5(4/5(x-1)-1)-1)-1)-1)

y=1024/3125(x+4)-4 y+4=1024/3125(x+4)

由于x和y都是正整数，而4的5次方与5的5次方互素，所以3125整除x+4,这样我们就可以算出x至少是3121

y至少是1020

然后我说这种经典的奥数题应该要用不同的思维来考虑问题，提示他借桃给猴，但是他还是没有思路，最后然他看了答案，看了2步就豁然开朗，大拍脑袋说自己笨。

桃子不是分不匀，总要剩下1个吗？问题的麻烦，就是因为多了1个桃子。能不能先借后还呢？

第一只猴子借4个，然后平分，正好拿走了自己一堆加吃掉的一个，然后还掉4个桃，第二个猴同样借4个，然后平分，正好拿走了自己一堆加吃掉的一个，然后还掉4个桃，第三第四第五个猴都同样操作，第五个猴分完以后就是5的5次方，然后还掉4个剩下3121。非常简单。

从这道题，我更理解了我儿子说的他自己喜欢代数，不怕麻烦，暴力计算，包括很多平面几何的题目他也经常会用代数法去算。不知道有何方法能扩散他的思路，有点担心他后面灵活的题型会有困难，而且上限会很低。

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