平面直角坐标系中直角三角形存在性问题(平面直角坐标系中的三角函数)

导语：「转」平面直角坐标系中直角三角形的存在性问题

直角三角形的特征是非常明显的，此类题目常出现在直角坐标平面内，此类题目常见的类型：①直角三角形的三个顶点中的两个顶点是确定的，另外的一个顶点在直线或抛物线上，即“两定+一半动点”题型；②直角三角形中的三个顶点中的一个定点是确定的，另外两个顶点在直线或抛物上，即“一定+两半动点”。

无论是哪种题型，先分类讨论三角形中的哪个角可以成为直角，再借助勾股定理、构造一线三等角、或利用锐角三角比，结合题目条件进行计算。

分析：对于这样的“两动点+一个半动点”的问题，利用两点间的距离公式表示出PA、PB，▲PAB是直角三角形，当不同的角为直角时，利用勾股定理建立方程，求解后代入检验，P是否在线段MN上。当所求的动点在某个范围内运动时，需要对方程的解进行检验，舍去不存在的情况。

分析：由于MN垂直X轴，因此可以借助锐角三角比或一线三等角“K”型图，发现相似三角形，利用相似比求出P点坐标。

分析：由于P在抛物线上，如果利用距离公式与勾股定理求解，则平方后会出现4次方，太过复杂，因此可以通过构建相似三角形来求解。本题中有特殊角45°，因此构造后的三角形也是等腰直角三角形，简化了运算。

分析：本题为“一定点+2两半动点”题型。中O为定点，M与N为动点，根据题意分类讨论，排除不存在的情况，利用三角比求解。本题若用勾股定理解决，则过程过于繁琐，因此通过画图及三角比综合解决问题。

分析：当∠MPC=90°时，发现PC//x轴，则可以利用对称性或交轨法求P点坐标。

分析：当∠PCM=90°时，解法一构造了一线三等角，利用相似三角形求出点P坐标；解法二利用了两直线垂足，斜率之积为-1，利用交轨法同样求出点P坐标。

1、相似三角形的构造，K型相似(矩形存在性问题中同样适用)

2、全等三角形的构造，利用相等边长构造全等(正方形存在性问题中同样适用)

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