等腰三角形存在性问题的解法(等腰三角形的存在性问题中考网)
导语：等腰三角形存在性问题解法探究
等腰三角形存在性问题时常出现在各类考卷的压轴题位置，在行程动点问题中以等腰三角形存在为背景求时间或速度，在函数问题中以等腰三角形存在为背景求点的坐标，那么这类问题该如何来解答呢？
等腰三角形存在性问题的解题关键：先分类讨论；再利用等腰三角形的性质计算，在解题过程中需注意全面思考、不重不漏。
若△ABC是等腰三角形，那么可以分为
①AB＝AC；②AB＝BC；③AC＝BC三种情况.
等腰三角形存在性问题有两种基本解法：几何法和代数法。
几何法只要图画的够好，就能快速找到目标，需要注意三点共线的特殊情况；代数法不需要画图，但有时计算量会比较大，在计算过程要细心点，而且算出来的结果要进行检验，这类存在性的问题,要能够把几何法与代数法相结合，才能使得解题又快又准。
几何法：两圆一线先从一个问题开始：
在平面内有一线段AB，点C为平面内任意一点，若△ABC为等腰三角形，则这样的点C有几个？点C的轨迹又是什么？
分析：根据等腰三角形的性质，线段AB有可能为底边，即CB=CA;也有可能为腰，在以AB为要的情况下又有两种情况：AB=AC,BA=BC，因此一共有三种不同的情况。
情况（1）：线段AB为底边，则有CA=CB，即点C到线段AB两端点的距离相等，故点C在线段AB的中垂线上，此时点C有无数个，点C的轨迹为直线（不取与AB相交的点），如下图：
情况（2）：线段AB为腰，则有：
①AB=AC，即点C到点A的距离等于点B到点A的距离，则点C在以点A为圆心，AB长为半径的圆上，此时点C有无数个，点C的轨迹为圆（不取点B和与A、B共线点），如下图：
②AB=BC，即点C到点B的距离等于点A到点B的距离，则点C在以点B为圆心，AB长为半径的圆上，此时点C有无数个，点C的轨迹为圆（不取点A和与A、B共线的点），如下图：
综上所述，这样的点C有无数个，点C的轨迹为两个圆和一条直线，为了方便记忆，我们简称“两圆一线”，这是等腰三角形存在性处理的基本方法。
两圆一线：
一线，指的是线段的垂直平分线线，
两圆，指的是以线段长度为半径，线段端点为圆心而产生的两个圆。
我们来看一道题：
因为点D（3,4），点O在坐标原点，所以可以求出OD=5，
①当DO=DP=5时，以D为圆心，DO为半径画圆，与x轴的正半轴交于点P，此时点D在OP的垂直平分线上，此时P(6,0)，如图1所示；
②当DO=DP=5时，以O为圆心，OD为半径画圆，与x轴的正半轴交于点P(5,0)，如图2所示；
③当PO=PD时，画OD的垂直平分线与x轴的正半轴交于点P，设垂足为点E，如图3所示，
没有学习锐角三角函数的话可以利用勾股定理加上方程思路来解答。
对于等腰三角形存在性问题，我们还可以用另一种方法来解答：
代数法：两点间距离求等腰三角形的边长，再进行分类讨论和计算。于是就将等腰三角形存在性问题转化为为两点间的距离问题。
两点间的距离计算公式，虽然在初中数学课本上没有出现，但可以通过构造直角三角形推导得到，在函数题目的解题中会经常遇见。
利用公式我们来做一道题目：
已知平面内两点A（1,2）、B（6,4），求线段AB的长度。
【解析】连接AB，以AB为斜边，构造直角边与坐标轴平行的直角三角形，利用勾股定理解题，
代数法解等腰三角形存在性问题的步骤：
找到或表示出相关点的坐标；利用两点间的距离计算公式，分别表示出各条线段，通常是线段的平方；根据分类情况，利用相等边，列方程并解方程；检验结果，看是否符合题意；还是刚才那题，我们用代数法来进行解答：
比较发现，代数法在思考时没有几何法那么难，很直接，表示出线段，列方程计算即可，但代数法的计算量比较大，尤其是在初三学习了二次函数，解决二次函数与等腰三角形存在性问题时，代数法的计算量会更大，两种方法各有利弊，在解题时根据题目的具体情况和自己对方法的掌握情况来选择合适的方法。
来一道练习：
可以用代数法和几何法两种不同的方法来解答。
几何法：可以先画“两圆一线”将点找出，然后根据等腰三角形的性质进行分类讨论。
代数法：△OAB的三条边分别为：OA、AB、OB，根据两两相等，共有三种情况：①OA=AB；②OA=OB；③AB=OB。
与动点行程有关的等腰三角形存在性问题：在解决动点问题时，首先来分析动点，
分析动点一般需要从以下五方面去分析：
起点，方向，终点，速度，时间。
解题步骤：
解题的基础是用含有速度和时间的代数式表示距离和相关线段长度，在表示出相关线段长度之后，再利用几何性质，列出式子进行运算和解答即可。因为动点，所在就存在着多种可能性，需要找好分界点，做好分类讨论，
在解题过程中需要注意数形结合、分类讨论和方程思想的应用。
来看一道例题：
解题第一步：表示线段
接着，分类讨论计算即可：
来一道练习：
三角形存在性问题的基本方法和思路掌握了吗？多去练习，熟练之后，你会发现这类问题很简单的，加油。
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