奇妙的罗素悖论与第三次数学危机的关系(奇妙的罗素悖论与第三次数学危机的区别)

导语：奇妙的罗素悖论与第三次数学危机

1919年，英国数学家罗素提出了一个有趣的问题：村里有一个理发师，他为自己定了一条店规-他只给村里不给自己刮脸的人刮脸，那么按照这个规矩理发师该不该给他自己刮脸呢？

如果他不给自己刮脸，那么他就属于“不给自己刮脸”的那一类村民，按规定，他应该给自己刮脸；但是，如果他给自己刮脸，他就属于“给自己刮脸”的那一类村民，按规定他就不能给自己刮脸。

一、为什么说这是一个悖论

很明显这是一个悖论，理发师的位置非常尴尬，两类群体他都不属于，那么他的归属在哪儿？

按理说，如果对于两个分类标准明确而且对立的群体而言，某个人归属肯定是非此即彼。

比如，我们定义此时此刻有北京户口的人是北京人，那么所有人一下子就被分成了两类-北京人和非北京人。

罗素的这个“理发师悖论”挑战了康托尔构造集合的基本原则-概括原则：具有某种特质的元素可以构成一个集合。

简单理解就是我们学过的集合的确定性，一个元素是否属于给定集合是明确的而不是模棱两可的。

二、非常集和正常集

“理发师悖论”的学术版是1901的“罗素悖论”，原文我们就不说了，非常抽象。

通俗来说，所有的集合分成两类，一类为非常集，这种集合的本身也是该集合的一个元素。例如，“一切集合组成的集合”当然是自身的一个元素，因为它也是一个集合。再简单一点，“王中王”是不是王，肯定也是王。

另一类是正常集，即其本身不是它的一个元素。例如“有理数集”，它本身不是有理数（是个集合），所以不属于有理数集。由此，任意集合不是正常集就是非正常集，不应该有例外。

但是，如果S是一切正常集的集合，那么S属于哪一类？

集合论是一切数学的基础，罗素悖论的提出说明了集合论本身是包含矛盾的，是不严密的。它使得那个年代的整个数学界和逻辑学界同时感到了问题的严重性，并由此引发了数学史上第三次数学危机。

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