抛物线对称性的运用例题(抛物线对称性的应用方法)

导语：抛物线对称性的运用

二次函数y=ax^2+bx+c的图象是以直线x=-b/2a为对称轴的抛物线，根据轴对称图形的性质可得如下结论：

（1）如果P、Q关于二次函数图象的对称轴对称，则点P、Q同时或不在二次函数图象上；

（2）设P（x1，y1）、Q（x2，y2）是二次函数图象上的点，如果y1＝y2，则P、Q关于二次函数图象的对称轴对称，且对称轴是直线x=(x1+x2)/2．

运用二次函数图象的对称性可以巧妙地解决有关的问题。请看：

例1 已知二次函数的图象经过点A（－3，12），B（3，0），C（5，12），求二次函数的解析式．

解析：常规解法是设二次函数解析式为y=ax^2+bx+c，把A、B、C三点的坐标代入，再解关于a、b、c的三元一次方程组．而从图象的对称性入手可得如下简便的解法：

解：因为A、C两点的纵坐标相同，

所以抛物线的对称轴是x＝（－3＋5）/2＝1，

因为点B（3，0）关于直线x＝1的对称点为D（－1，0），

又点B在抛物线上，

所以点D也在抛物线上，

因此可设所求二次函数解析式为 y＝a（x＋1）（x－3），

把点C的坐标代入，得：

12＝a（5＋1）（5－3），解得a＝1，

所以，二次函数的解析式为y＝（x＋1）（x－3），

即y＝x^2－2x－3．

例2 已知抛物线y＝ ax^2＋bx＋c的顶点为（3，1），且在x轴上截得的线段长为2√3，求a、b、c的值．

解：由已知，抛物线的对称轴为x＝3，

设抛物线交x轴于点A（x1，0），B（x2，0）（x1<x2），

则A 、B关于直线x=3对称，

因为AB=2√3，

所以点A、B到直线x＝3的距离相等都是√3，

即3－x1＝x2－3=√3,

所以x1=3-√3，x2=3+√3，

所以抛物线的解析式可化为：

y=a(x-3+√3)(x-3-√3)

=a[(x-3)^2-3]

所以y=a(x-3)^2-3a……（1）

因为抛物线顶点为（3，1），

所以抛物线又可化为：

y＝a(x-3)^2+1……(2)

比较（1）、（2）的系数，得：

-3a=1，所以a=-1/3.

所以y＝(-1/3)(x-3)^2+1

化为一般式，得：

y=(-1/3)x^2+2x-2，

所以a＝-1/3，b＝2，c＝－2．

例3已知二次函数y=ax^2+2ax+c(a>0)的图象经过点A(1，2)，求当函数值y<2时，自变量x的取值范围。

解：当y=2时，抛物线上的点除了点A（1，2）外，还有一个点A关于抛物线对称轴对称的点B，其坐标设为（m，2）。

因为抛物线y=ax^2+2ax+c的对称轴为：

x=-2a/(-2a)=-1，

所以-1-m=1-(-1)，解得m=-3，

所以点B（-3，2），

因为a>0，抛物线开口向上，

所以当y<2时，自变量x的取值范围为-3<x<1。

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