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抛物线对称性的运用例题(抛物线对称性的应用方法)

导语:抛物线对称性的运用

抛物线对称性的运用例题(抛物线对称性的应用方法)

二次函数y=ax^2+bx+c的图象是以直线x=-b/2a为对称轴的抛物线,根据轴对称图形的性质可得如下结论:

(1)如果P、Q关于二次函数图象的对称轴对称,则点P、Q同时或不在二次函数图象上;

(2)设P(x1,y1)、Q(x2,y2)是二次函数图象上的点,如果y1=y2,则P、Q关于二次函数图象的对称轴对称,且对称轴是直线x=(x1+x2)/2.

运用二次函数图象的对称性可以巧妙地解决有关的问题。请看:

例1 已知二次函数的图象经过点A(-3,12),B(3,0),C(5,12),求二次函数的解析式.

解析:常规解法是设二次函数解析式为y=ax^2+bx+c,把ABC三点的坐标代入,再解关于abc的三元一次方程组.而从图象的对称性入手可得如下简便的解法:

解:因为AC两点的纵坐标相同,

所以抛物线的对称轴是x=(-3+5)/2=1,

因为点B(3,0)关于直线x=1的对称点为D(-1,0),

又点B在抛物线上,

所以点D也在抛物线上,

因此可设所求二次函数解析式为 yax+1)(x-3),

把点C的坐标代入,得:

12=a(5+1)(5-3),解得a=1,

所以,二次函数的解析式为y=(x+1)(x-3),

y=x^2-2x-3.

例2 已知抛物线y ax^2+bxc的顶点为(3,1),且在x轴上截得的线段长为2√3,求abc的值.

解:由已知,抛物线的对称轴为x=3,

设抛物线交x轴于点A(x1,0),B(x2,0)(x1<x2),

则A 、B关于直线x=3对称,

因为AB=2√3,

所以点AB到直线x=3的距离相等都是√3,

即3-x1=x2-3=√3,

所以x1=3-√3,x2=3+√3,

所以抛物线的解析式可化为:

y=a(x-3+√3)(x-3-√3)

=a[(x-3)^2-3]

所以y=a(x-3)^2-3a……(1)

因为抛物线顶点为(3,1),

所以抛物线又可化为:

y=a(x-3)^2+1……(2)

比较(1)、(2)的系数,得:

-3a=1,所以a=-1/3.

所以y=(-1/3)(x-3)^2+1

化为一般式,得:

y=(-1/3)x^2+2x-2,

所以a=-1/3,b=2,c=-2.

例3已知二次函数y=ax^2+2ax+c(a>0)的图象经过点A(1,2),求当函数值y<2时,自变量x的取值范围。

解:当y=2时,抛物线上的点除了点A(1,2)外,还有一个点A关于抛物线对称轴对称的点B,其坐标设为(m,2)。

因为抛物线y=ax^2+2ax+c的对称轴为:

x=-2a/(-2a)=-1,

所以-1-m=1-(-1),解得m=-3,

所以点B(-3,2),

因为a>0,抛物线开口向上,

所以当y<2时,自变量x的取值范围为-3<x<1。

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