竞赛中多项式求值问题的解法是什么(竞赛中多项式求值问题的解法)

导语：竞赛中多项式求值问题的解法

约束条件下的多项式求值在数学竞赛中经常遇到，解决这类问题的常用方法是运用多项式除法运算中的带余除法，根据“被除式=除式×商式+余式”把求值多项式化为相关多项式的乘积形式，再整体代入求解。

例 已知x=(1-√5)/2，求多项式x^4-2x^3-4x^2+7x+6的值。

分析与解：把x的值中的根号去掉，建立x与方程的关系。即去分母，得：

2x=1-√5，2x-1=-√5，

两边平方，得：4x^2-4x+1=5，

所以4x^2-4x-4=0，

两边除以4，得：x^2-x-1=0，

（这个关系也可以直接由求根公式知(1-√5)/2是方程x^2-x-1=0的一个根而得）

因为(x^4-2x^3-4x^2+7x+5)÷(x^2-x-1)=x^2-x-4……2x+1，

所以x^4-2x^3-4x^2+7x+5=(x^2-x-1)·(x^2-x-4)+2x+1

=0·(x^2-x-4)+2x+1

=2x+1

=2·(1-√5)/2+1

=2-√5.

练习：

（1）若x^2+3x+1=0，则2x^3+5x^2-x+1的值等于______。

（2）已知a是方程x^2-x-3=0的根，则a^4-a^2-6a-9的值等于（ ）

A．0 B。1 C。2 D。3

（3）已知x=√3+2，求x^5-3x^4-4x^3+4x^2+2x+1的值。

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