等值线平滑算法(等积原理怎么理解)

导语：初中数学：等积法的妙用（推导平滑定理、求三角形边、高或面积）

等积法定义：等积法是等面积法的简称，是指两个三角形等底等高,则两个三角形面积相等；或者同一个三角形面积相等。

等积法应用：

（1）如果两个三角形等底等高,运用等积法，即面积相等的性质。已知其中一个三角形的底和高或者面积，求另外一个三角形的底、高或面积，可以使题目得到简便的解答。

（2）在同一个三角形中，我们也可以利用“同一个图形的面积相等”的原理。已知三角形的面积或者已知一条边及其对应的高，求另外一条边或另外一条边所对应的高，从而使运算更为简便。

初中数学课堂

下面举例说明等积法在我们解题过程中是如何应用的：

一、利用等积法，推导平滑定理

原理：两个三角形底相同，高相等，那么两个三角形面积一定要等。

平滑定理在一次函数、二次函数题目求面积中有非常好的应用，有兴趣的读者可以参阅我的上篇文章《初中数学：平滑定理在二次函数求面积中的巧妙应用》。

二、利用等积法简化运算过程

我们现在以两个例题，来看看等积法是否有简化运算的作用。

例2、如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝BC＝BD＝2，AD＝1，则AC＝　 　．

我们用 常规思路和等积法 两种方法来计算本题，进行比较：

法一：常规思路，利用勾股定理，构造方程求解

解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB交AB延长线于点F

∴∠AED＝∠BED＝∠F＝90°

设AE＝x，

∵AB＝BC＝BD＝2，AD＝1

∴BE＝AB﹣AE＝2﹣x

∵在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，在Rt△BDE中，BE2+DE2＝BD2

∴DE2＝AD2﹣AE2＝BD2﹣BE2

得：12﹣x2＝22﹣（2﹣x）2

其余解题过程同方法一。

看看这样求DE是不是简单多了？

例3、如图，在平面直角坐标系中，△ABC ≌ △DEF，AB=BC=5,若点A的坐标为(-3,1)，点B、C在直线y=-3上，点D在y轴的正半轴上，且点E的坐标为(0,-1)，则点F的坐标为（ ）

解：如图，作FH⊥DE于点H，CG⊥AB于G。

∵点A到直线BC的距离为AK=1-(-3)=4 即F点横坐标

∵△ABC的面积 = BC×AK = AB×GC（等积法）

而AB = BC

∴ AK = GC = 4

∵△ABC ≌ △DEF

EF=BC=5

∴FH = CG = 4

∴EH=3 （根据勾股定理）

而E(0,-1)

∴HO = 3-1=2 即F点纵坐标

∴F（4,2）

关于等积法的巧妙应用今天就介绍到这里，希望每位每位同学在学习中养成认真思考，勤于归纳，举一反三的好习惯。

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