数学分析考研重点章节(数学分析考研具体考哪几本书)
导语:数学分析考研基础阶段复习笔记,第01章,实数集与函数(下)
六、几种函数符号函数:
狄利克雷 函数:
黎曼 函数:(可积(课本 ))
黎曼函数
取整函数:(取小:取最小的整数),(也叫做:左取整函数,取最左边的整数)
取整函数
不超过 的整数 比如
复合函数:
或 内函数的值域对映外值函数的定义域内.
6. 反函数:( ,对于三角函数的反函数归为一个周期内成立)
图:
y=arcsinx
y=arccosx
y=arctanx
y=arccotx
周期函数:
为有理数.
备注① 有界:连续函数以 为周期必有界(不在此证明)
② 不是所有周期函数都有最小正周期。周期函数的周期是与无关的非零常数,存在没有最小正周期的函数,而这个函数就是狄利克雷函数。狄利克雷函数是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以轴为对称轴,是一个偶函数,它处处不连续,处处极限不存在,不可黎曼积分。实数域上的狄利克雷 函数表示为:
( 为整数)也可以简单地表示分段函数的形式 (是无理数)或 ( 是有理数),假设 , 为无理数; , 有理数,由有理数和无理数的运算法则可以知道,所有的有理数与有理数的和都是有理数,有理数与无理数的和都是无理数。那么对于这个函数而言,取 为任意有理数,就都满足了,无论 是有理数还是无理数,这就意味着狄利克雷就是一个周期函数。它的最小正周期是最小的有理数,而显然是不存在最小的有理数的,因而这个函数也就没有最小正周期了。
周期函数的性质共分以下几个类型:
若是的周期,则也是的周期. 若 是的周期,则( 为任意非零整数)也是 的周期.
若 与 都是 的周期,则 也是 的周期. 若 有最小正周期 ,那么 任何正周期 一定是 的正整数倍.
若 是 的两个周期,且 是无理数,则 不存在最小正周期.
周期函数 的定义域 必定是至少一方无界的集合.
基本初等函数:
六种初等函数
常量函数: ( 为常数)
幂函数: ( 为实数) 上角实数幂
指数函数: ( )
对数函数: ( )
三角函数:
反三角函数:
初等函数:由六个基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到的函数
例如: , ,
非初等函数:反之,例如:狄利克雷函数、黎曼函数.
七、补充内容单值函数与多值函数:
一般函数只有1个 值对应,但严格说还有多值函数,单值函数.
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