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数学分析考研重点章节(数学分析考研具体考哪几本书)

导语:数学分析考研基础阶段复习笔记,第01章,实数集与函数(下)

六、几种函数

符号函数:

狄利克雷 函数:

黎曼 函数:(可积(课本 ))

黎曼函数

取整函数:(取小:取最小的整数),(也叫做:左取整函数,取最左边的整数)

取整函数

不超过 的整数 比如

复合函数:

或 内函数的值域对映外值函数的定义域内.

6. 反函数:( ,对于三角函数的反函数归为一个周期内成立)

图:

y=arcsinx

y=arccosx

y=arctanx

y=arccotx

周期函数:

为有理数.

备注① 有界:连续函数以 为周期必有界(不在此证明)

② 不是所有周期函数都有最小正周期。周期函数的周期是与无关的非零常数,存在没有最小正周期的函数,而这个函数就是狄利克雷函数。狄利克雷函数是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以轴为对称轴,是一个偶函数,它处处不连续,处处极限不存在,不可黎曼积分。实数域上的狄利克雷 函数表示为:

( 为整数)也可以简单地表示分段函数的形式 (是无理数)或 ( 是有理数),假设 , 为无理数; , 有理数,由有理数和无理数的运算法则可以知道,所有的有理数与有理数的和都是有理数,有理数与无理数的和都是无理数。那么对于这个函数而言,取 为任意有理数,就都满足了,无论 是有理数还是无理数,这就意味着狄利克雷就是一个周期函数。它的最小正周期是最小的有理数,而显然是不存在最小的有理数的,因而这个函数也就没有最小正周期了。

周期函数的性质共分以下几个类型:

若是的周期,则也是的周期. 若 是的周期,则( 为任意非零整数)也是 的周期.

若 与 都是 的周期,则 也是 的周期. 若 有最小正周期 ,那么 任何正周期 一定是 的正整数倍.

若 是 的两个周期,且 是无理数,则 不存在最小正周期.

周期函数 的定义域 必定是至少一方无界的集合.

基本初等函数:

六种初等函数

常量函数: ( 为常数)

幂函数: ( 为实数) 上角实数幂

指数函数: ( )

对数函数: ( )

三角函数:

反三角函数:

初等函数:由六个基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到的函数

例如: , ,

非初等函数:反之,例如:狄利克雷函数、黎曼函数.

七、补充内容

单值函数与多值函数:

一般函数只有1个 值对应,但严格说还有多值函数,单值函数.

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第一章的内容到此结束,谢谢关注

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