超越数定义(超越数有哪些)

导语：你知道如何构造出一个超越数吗？

读者一般在中学就知道了无理数，根号二可能是大家最先了解的无理数，历史上它甚至导致了第一次数学危机，传说第一个公布存在无理数这个观点的人被投入海水中淹死了。相比较于有理数可看作两整数之比，无理数似乎很难把握，有一类无理数是整系数方程的根，它们是代数数，比如根号二、根号三、黄金分割数，而一类则更加神秘莫测，它们不是任意整系数方程的根，叫做超越数，比如圆周率π和自然对数e。

我前面有一篇文章证明了实数不可列，而有理数是可数的，这就说明无理数的数量和有理数不在一个数量级，如果说有理数的个数相当于夜空中的星星一样多，那么无理数就布满了星星和星星之间广袤的空隙。刚才将无理数又分出两类：代数数和超越数。它们的个数也不在一个数量级，超越数比代数数要多得多。这是因为代数数和整系数方程对应，而所有的整系数方程是可数的，所以代数数也可数，那么超越数就不可数了。虽然超越数本身如此之多，但我们所知道的超越数却如此之少，要证明一个数是超越数比证明一个数是无理数难得多。

第一个构造出超越数的是法国数学家刘维尔，这个数是0.110001000000000000000001……，1出现在小数点后第（i!）位，叫作刘维尔数。为了证明这个数是超越数，刘维尔证明了一个重要的定理（刘维尔定理），这个定理透露出超越数与代数数的不同之处：一个代数数无法用有理数很好地逼近，而超越数可以。现在我们先证明刘维尔定理。

这个定理很清晰地体现了代数数与有理数之间总是有一定的距离，所以如果证明了某个数可以无限趋近于有理数，那么它肯定是超越数。现在用上面的定理证明刘维尔数是超越数。

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