小公倍数怎么求(小公倍数用什么括号)
在生活中,很多人可能想了解和弄清楚最小公倍数的相关问题?那么关于最小公倍数怎么求的答案我来给大家详细解答下。
导读
之前我们介绍了最大公因数,它与最小公倍数之间的联系是什么?本期我们主要来讨论这个问题。
先来回顾最大公因数与其相关定理,再给出主要结论。
最大公因数
定义 设a,b是任意两个非零整数,如果d|a,d|b,则称d是a,b的一个公因数。a和b的公因数中最大的一个叫做a,b的最大公因数,记为(a, b).
例子 (12, 15)=3。
注:如果(a,b)=1,那么我们称a和b互素。此时称分数a/b为既约分数。易知a,b的公因数都是(a,b)的公因数。
定理1 设a,b是任意两个不全为零的整数,则存在整数s,t使得
as+bt=(a, b).
例子 (4, 6)=2, 6×1+4×(-1)=2.
定理2 设a,b是任意两个不全为零的整数。若m是任一正整数,则
(am,bm)=(a, b)m.
例子 (4, 6)=2, (4×3, 6×3)=2×3
最小公倍数
定义 设a,b是任意两个非零整数,如果a|m,b|m,则称m是a,b的一个公倍数。a和b的公倍数中最小的正数叫做a,b的最小公倍数,记为[a, b].
例子 [3, 4]=12。
引理1 若c|ab, 且(a, c)=1,则c|b.
例子 2|3×6, (2, 3)=1, 则2|6.
定理 设a,b是任意两个正整数,则a,b的所有公倍数就是[a, b]的所有公倍数,且
[a, b]=ab/(a, b).
分析 只需证明2件事
1. ab/(a, b)是a, b的公倍数。
2. 所有a, b的公倍数都是ab/(a, b)的倍数。
证明 设m是a, b的公倍数,m=aq=bp. 令a=u(a, b), b=v(a, b).
则有 uq=vp. 由定理2知(u, v)=1. 故由引理1可知 u|p. 令p=uk,则
m=bp=buk=[ab/(a, b)]k.
反之 因为b/(a, b)是整数,所以
a|[ab/(a, b)], 同理b|[ab/(a, b)]. 所以
ab/(a, b)是a, b的公倍数。□
例子 24与32,(24, 32)=8,由定理可知
[24, 32]=24×32÷8=96.
温馨提示:通过以上关于最小公倍数内容介绍后,相信大家有新的了解,更希望可以对你有所帮助。