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小公倍数怎么求(小公倍数用什么括号)

在生活中,很多人可能想了解和弄清楚最小公倍数的相关问题?那么关于最小公倍数怎么求的答案我来给大家详细解答下。

最小公倍数怎么求(最小公倍数用什么括号)

导读

之前我们介绍了最大公因数,它与最小公倍数之间的联系是什么?本期我们主要来讨论这个问题。

先来回顾最大公因数与其相关定理,再给出主要结论。

最大公因数

定义 设a,b是任意两个非零整数,如果d|a,d|b,则称d是a,b的一个公因数。a和b的公因数中最大的一个叫做a,b的最大公因数,记为(a, b).

例子 (12, 15)=3。

注:如果(a,b)=1,那么我们称a和b互素。此时称分数a/b为既约分数。易知a,b的公因数都是(a,b)的公因数。

定理1 设a,b是任意两个不全为零的整数,则存在整数s,t使得

as+bt=(a, b).

例子 (4, 6)=2, 6×1+4×(-1)=2.

定理2 设a,b是任意两个不全为零的整数。若m是任一正整数,则

(am,bm)=(a, b)m.

例子 (4, 6)=2, (4×3, 6×3)=2×3

最小公倍数

定义 设a,b是任意两个非零整数,如果a|m,b|m,则称m是a,b的一个公倍数。a和b的公倍数中最小的正数叫做a,b的最小公倍数,记为[a, b].

例子 [3, 4]=12。

引理1 若c|ab, 且(a, c)=1,则c|b.

例子 2|3×6, (2, 3)=1, 则2|6.

定理 设a,b是任意两个正整数,则a,b的所有公倍数就是[a, b]的所有公倍数,且

[a, b]=ab/(a, b).

分析 只需证明2件事

1. ab/(a, b)是a, b的公倍数。

2. 所有a, b的公倍数都是ab/(a, b)的倍数。

证明 设m是a, b的公倍数,m=aq=bp. 令a=u(a, b), b=v(a, b).

则有 uq=vp. 由定理2知(u, v)=1. 故由引理1可知 u|p. 令p=uk,则

m=bp=buk=[ab/(a, b)]k.

反之 因为b/(a, b)是整数,所以

a|[ab/(a, b)], 同理b|[ab/(a, b)]. 所以

ab/(a, b)是a, b的公倍数。□

例子 24与32,(24, 32)=8,由定理可知

[24, 32]=24×32÷8=96.

温馨提示:通过以上关于最小公倍数内容介绍后,相信大家有新的了解,更希望可以对你有所帮助。