费马点问题的解法(费马点例题解析)

导语：八年级解题模型之费马点

费马点的定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。

它是这样确定的：

1. 如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；

2. 如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。

费马点的性质：费马点有如下主要性质：

1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。

2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。

费马点最小值快速求解：

费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．

秘诀：以△ABC任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值

由来：平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat,1601–1665）提出的一个著名的几何问题。

1643年，在一封写给意大利数学家和物理学家托里拆利（Evangelista Torricelli,1608–1647)的私人信件中，费马提出了下面这个极富挑战性和趣味性的几何难题，请求托里拆利帮忙解答（也有一种说法是费马本人实际上已经找到了这个问题的答案，他是为了挑战托里拆利才写信向他“请教”的）：

给定不在一条直线上的三个点 A,B,C，求平面上到这三个点的距离之和最短的点的位置。

托里拆利成功地解决了费马的问题。他给出的答案是：

对 △ABC 三条边的张角都等于120°，即满足∠APB =∠BPC =∠CPA = 120°的点 P（如下图所示）就是到点 A,B,C 的距离之和最小的点。

后来人们就把平面上到一个三角形的三个顶点 A,B,C 距离之和最小的点称为△ABC的费马-托里拆利点（Fermat-Torricelli point），也简称为费马点（Fermat point）或托里拆利点（Torricelli point）。

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