常真是什么意思(常称是什么意思)

在生活中，很多人可能想了解和弄清楚常真式或称重言式是经典命题逻辑的一个公式，称为常真的的相关问题？那么关于常真是什么意思的答案我来给大家详细解答下。

常真式或称重言式是经典命题逻辑的一个公式，称为常真的。如果其中的命题变元不论赋予真值1或0，该公式的值常为1；如果对命题变元的每一组真值赋值一公式的值常为0，此公式便称为常假式或矛盾式。命题逻辑的公式可以分为常真的、常假的、以及对命题变元的某些组赋值取值1而对其它赋值取值0的公式3种类型。常真式表达着命题逻辑的定律（规律），具有特殊的意义。

例如p∨¬p、p∧(p→q)→q，都是常真式。前者表示排中律，后者是表示肯定前件假言推理的推理形式的公式。一个公式是不是常真的，可以用真值表方法确定，即由依据5个基本命题形式的真值表所逐步构造出的真值表确定。下表可以说明怎样用真值表确定一个公式的真值，确定一个公式是否常真。表中最后一横行圈内的数码表示逐步求值的次序，纵列⑦是要确定其是否常真的公式的真值，因其全部是1，从而表明该公式常真，是一常真式。我们用元语言符号Ａ、Ｂ等表示任一公式，用⊨Ａ表示Ａ是一常真式。还用Ａ⊨Ｂ表示对于Ａ和Ｂ中出现的命题变元的每一组赋值，当Ａ的值为1时，Ｂ的值必定也是1。⊨与公理系统所用到的儱不同，前者是语义符号，而后者是语法方面的符号，它表示在系统中可以证明。按照常真式的定义，显然有：一公式A常真，当且仅当它的否定¬Ａ常假。

公理系统

经典命题逻辑的常真式为数无穷，它们在一定意义上都表达逻辑定律。为了系统地研究和掌握这些逻辑定律，需要对它们作整体的考虑，将全部常真式都包括在一个系统之中。为此，可用公理方法将命题逻辑的全部定律系统化，从而得到一种形式系统，即称为命题演算的公理系统。在一个形式系统中，其语法部分，包括作为出发点的初始符号、形成规则、公理和变形规则。以下陈述的是经20世纪波兰逻辑学家J.卢卡西维茨简化过的弗雷格的系统。该系统的初始符号为：①逻辑常项，即命题联结词，用¬、→表示；②命题变元，以p、q、r、p1、p2，...表示；③括弧，即(，)。该系统的形成规则，在于规定怎样组合起来的有穷长的符号序列是系统中的合式公式。这个系统的形成规则有4条：①单独一个命题变元ｘ 是一合式公式； ②如果符号序列Ｘ是合式公式，则¬Ｘ是合式公式；③如果符号序列Ｘ，Ｙ是合式公式，则(Ｘ→Ｙ)是合式公式。④只有适合以上3条的是合式公式。这个系统的公理共有3条，即：

①　儱p →(q →p)；

②　儱(p →(q →r))→((p→q)→(p →r))；

③　儱(¬p →¬q)→(q →p)。

变形规则也称推理规则。变形规则有两条：①代入规则是将一公式A中出现的命题变元π处处代以公式B，得到公式 ，称为代入，以“如果儱Ａ，则儱 ”表示。②分离规则为“如果儱Ａ→Ｂ并且儱Ａ，则儱Ｂ”。

命题联结词∧、∨和↔可以通过定义引入，把 　(Ａ∧Ｂ)定义为¬(Ａ→¬Ｂ)； 　(Ａ∨Ｂ)定义为(¬Ａ→Ｂ)； 　(Ａ↔Ｂ)定义为(Ａ→Ｂ)∧(Ｂ→Ａ)。

在上述规则、定义中出现的符号x，X，Y，Ａ，Ｂ等，是元语言符号。x表示任意命题变元；X，Y表示任意的符号序列；Ａ，Ｂ表示任一合式公式；儱是语法符号，表示紧跟在儱后面的公式是系统中的定理。

公式的有穷序列Ａ1，Ａ2，...，Ａn称为是一个证明，如果其中每一Ａi(i=1，2，...，n)或者是公理，或者由在先的一个公式应用规则R1而得，或者由在先的两个公式应用规则R2而得。一个证明Ａ1，Ａ1，...，Ａn也说是它的最后一个公式Ａn的证明。

一个公式Ｂ是系统中的定理，如果它有一个证明，即存在一个证明Ａ1，Ａ1，...，Ａn，而Ａn即是B。根据定理的定义，每一公理都是定理。一个公式是定理，当且仅当它是可证明的。 　　

定理和可证明性都是语法概念。

这个系统的语义，即对符号和公式的解释，就是前面对于命题联结词和公式所作的解释，这个解释称为标准语义。此外还可作其他非标准的解释。在标准解释下，所有公理都是常真式，并且变形规则保持常真性，即把变形规则应用于常真公式而得到的公式也是常真式。由此表明，所有定理都是常真式，也就是“如果儱Ａ，则⊨Ａ”。这是关于这个演算系统的一个重要的元定理，称为可靠性定理。它的另一个重要的元定理是完全性定理，即凡常真式都是定理，可表示为“如果儱Ａ，则儱Ａ”。该系统还有一个重要的性质，即：在这个系统中不可能同时证明一个公式Ａ及其否定¬Ａ。这个性质称为一致性。

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