微积分到底是什么(微积分是什么概念)

在生活中，很多人可能想了解和弄清楚让你从根本上理解：微积分到底是什么的相关问题？那么关于微积分到底是什么?的答案我来给大家详细解答下。

你是不是觉得微积分太抽象了，太难了，理解不了？哪怕老师讲过了，仍然是一头雾水，晕晕乎乎不知所以？

可怜的朋友，你这是典型的被弄蒙圈了。就像被人当头狠狠打了一闷棍似的，被打得迷迷糊糊的，大脑一片空白，失去了思考能力，很简单的东西也觉得不可思议。

这自然不能怪你。微积分专著、数学教材咱们不怪，谁让它们就是干这个的呢？

非要怪的话，那就怪网上大咖吧。为了显得自己高深莫测，为了显得自己才高八斗，甚至单纯为了凑字数，有的大咖故弄玄虚，绕了十八道湾，上扯葫芦下扯瓢，吹得云里雾里，把简单的事情复杂化，显得深奥无比，弄的你彻底晕乎了事。

好了，下面言归正传，不然你也说我在七绕八绕，就是不说正题了。

为了让你彻底理解微积分到底是个什么东东，我们就从分数开始，循序渐进，一步一步详细解释，很快你就会拨开迷雾，豁然开朗的。

一、导数是怎么回事，怎么计算？

（一）先复习已经学过的分数、速度

1、小学阶段学过分数

为了方便后面的对比理解，我们先明确以下概念：在上面的分数中，数字1称做分子，数字2称做分母，数字0.5称做分数值；

把公式1变化一下，写成0.5×2=1，或者1=0.5×2，称呼随之改变：数字1在这里称做积，数字2称做乘数，数字0.5称做被乘数。

俗话说入乡随俗，到哪道山唱什么歌，大家要慢慢习惯这个做法。

2、初中阶段学过有关速度公式

用符号表示，则有

（二）下面，我们稍微扩展一点距离、时间的表示方式。

1、距离：假设你在操场上沿跑道跑步，从100米处跑到了300米处，你跑的距离是200米。

现在沿跑道做一数轴，起跑处取为原点，把跑道100米处记为x1，把300米处记为x2，则你跑的距离S= x2-x1=300-100=200（米）

由于S是x2与x1的差值，那我们就换个记法，这个差值不再用字母S表示，而是用Δx。其中Δ是希腊字母，读作：德尔塔（英语词是Delta），即Δx= x2-x1=300-100=200（米）。

在这里，需要明确指出，由于Δx= 200米是一个确定的差值，故，我们说符号Δ表示的是一个有限大小的差值。（注意“有限大小”这个说法，后面要对比使用的）

2、时间：假设你从100米处开始跑，时间是9点50分29秒，跑到300米处的时间是9点50分59秒，即你跑200米用了30秒的时间，也即t=30秒。

与距离一样，我们换个记法：t1=9点50分29秒，t2=9点50分59秒，Δt= t2- t1=9点50分59秒-9点50分29秒=30秒

至此，我们知道，公式3可以改写成如下形式

（三）平均速度、瞬时速度

1、上面的公式计算出来的速度，是在30秒内跑200米的平均速度。

你在跑步时，实际上可能会忽快忽慢，甚至会停下来喘口气。平均速度的意思就是，不管你怎样跑，反正是跑了200米，用了30秒，相当于你用平均速度匀速运动了30秒。

2、那你的起跑速度如何呢？

起跑速度就是在起跑时刹那间的速度，物理上称为瞬时速度。

设想你跑了很多次，跑的距离越来越短，用的时间自然也是越来越少。

极端情况：你跑的距离是无限短，用的时间是无限少，这个时候你的速度就是起跑速度。

注意“无限短、无限少”这种说法，对比前面的“有限大小”的说法，加以体会、理解“有限小、无限小”两个词汇表达的意义。

（四）无穷小、极限

“有限小”好理解，我就不再啰嗦了。那么，什么是“无限小”、怎么理解“无限小”这个概念呢？

无限小的定义：对于给定的某一个值ε0（ε是希腊字母，读作：艾普西龙），值ε永远比ε0小，那么值ε就称作无限小，也称作无穷小。

比如，ε0取值0.1，ε可以取值0.01；ε0取值10的负105次方，ε可以取值10的负106次方，反正ε比ε0小就行。

前面我们知道，对“有限大小”的值，用字母Δ表示；现在对于“无穷小”，自然不能继续再用Δ表示。字母Δ英语词汇是delta，我们就用这个词汇的第一个字母d表示“无穷小”。

这样，对于起跑速度，也即起跑时的瞬时速度，公式4可以改写成

其中lim是英文词汇limit的缩写，表示对后面的量取极限的意思，无穷小在这里表示成：有限小趋于零。

（五）微分、导数

比较公式1和5，可以看出，两者情况发生了变化。使用的符号不一样了，称呼自然也得改变。

公式5仿照公式1，可以变成dx=Vdt，这样，处于被乘数位置的V，也即是公式5中的分数值，现在称为导数；

dt称为时间t的微分，微即微小之意，分即分割之意，就是把有限大小的t值分割成无穷多个无穷小，这个无穷小称为微分，记为dt；同理，距离x的微分记为dx，也即公式5中的分子。

（六）函数、自变量

在你跑步时，一般情况，跑的时间越多，跑的距离越长。也就是说，跑的距离是随时间变化的，我们称距离是时间的函数，记为x=f(t)。“函”字在这里有包含、容纳之意；符号f来自英语词汇function（函数）的第一个字母；时间t称为自变量，即时间t自己变化，包含时间的距离x随之变化。公式5也可写成

上式称作对函数f(t)求导，或者函数f(t)对t求导，或者f(t)对t的导数是V。

（七）求导例题

求函数f(t)=t的平方，即

的导数。

解：由以上论述，得知

根据公式5和6，导数

即函数t平方的导数是2t。

这个结果可以作为导数公式记忆下来，还有其他常用导数公式也要背熟，在以后计算中可以直接使用。

二、积分是怎么回事、怎么计算？

根据公式2，有：

距离=速度×时间，即S=Vt（公式7）

对于匀速运动，公式7用起来很舒服。

（一）要是速度随时间一直在变化不定，即速度是时间的函数：V=V(t)，又该怎么计算距离呢？

设一物体从时刻t1开始运动，到时刻t2停止；其路程从x1变化到x2。

把从t1到t2时间段分割成n个很小的有限小时间间隔：Δt1, Δt2, Δt3, ……, Δtn。

在每个有限小时间间隔内，可以近似认为物体是匀速运动的，其速度标记为V1, V2, V3, ……, Vn。

则，物体跑过的总距离，是每个时间间隔内跑过的距离加起来之和：

上式中的符号Σ是希腊字母，读作：西格玛，表示对后面内容求和的意思。字母i表示从1到n任意一个数字。

（二）定积分

当有限小时间间隔趋于0，变成无限小时间间隔时，我们知道上式（公式8）中的符号Δ应该换写成d；那么求和号Σ也不能原样不动，表示无穷小之和的符号写成ʃ的样子，称为积分号。

此时，公式8改写成

t1、t2分别称为积分的下限、上限。

公式9表示的积分，由于自变量有上、下限，故称为定积分。

（三）积分例题、不定积分

导数

求原函数f(t)。

解：由原题，有

df(t)=2tdt

对上式两边积分，有

由导数公式

得

将（2）式代入（1）式：

即原函数

上面积分时没有确定上下限，这样的积分称为不定积分，字母C是任意常数。

因为常数的导数等于0，故对于任意常数C，上面求出的原函数的导数都一样，是2t。

如果确定了积分区间[t1,t2]，则

与导数公式一样，常用积分公式也需要熟记，方便以后直接使用。

这就是微积分，你是否还觉得微积分太抽象了，理解不了？

温馨提示：通过以上关于让你从根本上理解：微积分到底是什么内容介绍后，相信大家有新的了解，更希望可以对你有所帮助。