常数函数是啥(常数函数的公式)

导语：数学界的一股清流：常数函数

在数学中，我们把值不会发生改变（即常数）的函数称为常数函数（也叫常值函数）。

如函数f(x)=8，因为f映射任意的值到8，因此f是一个常数。

更一般地，对一个函数f：A→B，如果对A内所有的x和y，都有f(x)=f(y)，那么，f是一个常数函数。

或我们也讲常值函数 y =C（其中C 为常数），如下图：

常数函数是初等函数中最简单的一种，就是值域只包含一个元素的函数，换句话说，就是因变量取固定值的函数。

常数函数因变量是固定的，即无论自变量取什么值其函数值都不会发生变化。因此，实际上常数函数也有自变量，例如y=10也可以写成y=0x+10。在没有任何其它限制的情况下，x可以取任何值，即全体实数。

值得注意的是，每一个空函数（定义域为空集的函数）无意义地满足上述定义，因为A中没有x和y使f(x)和f(y)不同。然而有些人认为，如果包括空函数的话，那么常数函数将更容易定义。

复变函数论中的刘维尔定理告诉人们：平面上的有界全纯函数只能是常值函数。

常值函数是周期函数，但没有最小正周期。

我们知道对于函数y=f(x)，若存在常数T≠0，使得f(x+T) = f(x)，则函数y= f(x)称为周期函数，T称为此函数的周期。

性质1：若T是函数y=f(x)的任意一个周期，则T的相反数（-T）也是f(x)的周期。

性质2：若T是函数f(x)的周期，则对于任意的整数n(n≠0)，nT也是f(x)的周期。

性质3：若T1、T2都为函数f(x)的周期，且T1±T2≠0，则T1±T2也是f(x)的周期。

对于多项式函数，一个非零常数函数称为一个零次多项式；

一个零常数函数可以看成是一个次数为负无穷的多项式。

常数函数可以通过与复合函数的关系，从两个途径进行描述。

下面这些是等价的：

F： A→B是一个常数函数。 对所有函数g, h: C→A, fog=foh（“o”表示复合函数）。 f与其他任何函数的复合仍是一个常数函数。

上面所给的常数函数的第一个描述，是范畴论中常数态射更多一般概念的激发和定义的性质。

根据定义，一个函数的导函数度量自变量的变化与函数变化的关系。那么我们可以得到，由于常数函数的值是不变的，它的导函数是零。

如何证明常数函的导函数为零，如下：

如果f是一个定义在某一区间、变量为实数的实数函数，那么当且仅当f的导函数恒为零时，f是常数。 对预序集合间的函数，常数函数是保序和倒序的；相反的，如果f既是保序的也是倒序的，如f的定义域是一个格，那么f一定是一个常数函数。

常数函数的其他性质包括：

常数函数无单调性。

任一定义域和陪域相同的常数函数是等幂的。

任一拓扑空间上的常数是连续的。

在一个连通集合中，当且仅当f是常数时，它是局部常数。

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