随机变量数字特征的释义是什么(随机变量的数字特征是什么意思)

导语：随机变量数字特征的释义

随机变量的数字特征

1、数学期望（均值）

数学期望给出了随机变量的平均大小。随机变量X的数学期望记为E(X), E(X)是X的算术平均的近似值, 数学期望表示了X的平均值大小。实验中每次可能的结果的概率乘以其结果的总和。

离散型随机变量

连续型随机变量

2、方差

随机变量的取值在均值周围的散布程度，X的方差记为

D(X)=E{[X-E(X)]^2}。

离散型

连续型

方差的算术平方根为X的标准差

D(X) = E{[X-E(X)]^2} 经过化解可得 D(X) = E(X^2) – [E(X)]^2，一般计算的时候常用这个式子

3、协方差

对于二维的随机变量(X,Y)，还要讨论它们的相互关系。

因为E{ [X-E(X)][Y-E[Y]] } = E(XY) – E(X)E(Y)，又当X,Y相互独立的时候E(XY) = E(X)E(Y)。这意味着若E{[X-E(X)][Y-E[Y]]} ≠ 0 ，则X与Y是存在一定关系的。

协方差可以反应两个变量的协同关系， 变化趋势是否一致。同向还是方向变化。

Cov(X,Y) = E{[X-E(X)][Y-E[Y]]}

4、相关系数

相关系数是协发差的归一化(normalization)， 消除了两个变量量纲/变化幅度不同的影响。单纯反映两个变量在每单位变化的相似程度。

协方差在某种意义上是表示了两个随机变量间的关系，但是Cov(X,Y)的取值大小与X,Y的量纲有关，不方便分析。为了消除量纲的影响，用X,Y的标准化随机变量来讨论，即将两变量分别进行标准化(每个观察值减去均数再除以其标准差)后再计算协方差，使之成为无单位的系数。

随机变量X与Y的相关系数：

记为(无量纲)

其中，以下符号为X,Y的协方差即Cov(X,Y)。D(X)，D(Y)分别是X,Y的方差且D(X)>0，D(Y)>0

注意：两个不相关的随机变量，不一定相互独立,有一特殊情况是,当随机变量X,Y服从二维正态分布的时候,独立与不相关等价。

不相关只能说明X与Y不存在线性关系。独立说明X与Y既不存在线性关系,也不存在非线性关系。

5、矩

矩(moment)是最广泛的一种数字特征,常用的矩有两种：原点矩和中心矩。

原点矩：

对于正整数k，称随机变量X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩：即 E(Xk) ,k=1,2,…n.

数学期望就是一阶原点矩。

中心矩：

对于正整数k，称随机变量X与E（X）差的k次幂的数学期望为X的k阶中心矩：即 E{X-E[XK]},K=1,2,…n.

方差就是二阶中心矩。

6、补充

均值，用E(x)表示，表示信号中直流分量的大小。均值的平方，用{E(x)}^2表示，它表示的是信号中直流分量的功率。均方值，用E(x^2)表示，表示信号平方后的均值。均方值表示信号的平均功率。均方根值，即均方值的开根号方差，描述信号的波动范围，表示信号中交流分量的强弱，即交流信号的平均功率。均方差，用MSE表示，是各数据偏离真实值的距离平方和的平均数对于方差和标准差而言，它们反映的是数据序列与均值的关系。对于均方差和均方根误差而言，它们反映的是数据序列与真实值之间的关系。

随机信号的数字特征

1、均值函数

总集均值，一阶原点矩函数过程的数学期望作为参数的函数，是其样本函数在某时刻t的平均取值

2、均方值函数

反映了随机信号在总集意义下的瞬时功率（即某时刻样本随机变量的平均功率）

3、方差函数

反映了随机信号在均值上下的起伏程度

4、自相关函数

表示随机信号在不同时刻取值的关联程度

5、自协方差函数

描述随机信号在不同时刻值的起伏变化的相关程度，也称为中心化的自相关函数

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