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伯努利试验和二项分布的区别(伯努利试验和二项分布的关系)

导语：伯努利试验和二项分布

伯努利试验和二项分布在这里有一个简单的解释。伯努利试验也被称为二项试验。在伯努利试验中，只有两种可能的结果但在二项分布中，我们得到了一系列独立实验的成功次数。

贝努力试验

我们进行的许多随机实验只有两种结果，要么失败，要么成功。例如，一个产品可能有缺陷，也可能没有缺陷，等等。这种只有两种可能结果的独立试验被称为伯努利试验。要将试验归类为伯努利试验它必须满足以下条件:

试验应该是有限的。•试验必须是独立的。•每次试验都应该有两种结果:成功或失败。•成功或失败的概率不会因每次试验而改变。

贝努力试验的例子

从装有10个白球和10个黑球的袋子中取出8个球。如果绘制的球被放回或不被放回，预测试验是否为伯努利试验。

解:

(a)对于第一种情况，当一个球被放回时，成功的概率(比如白球)是p=10/20=1/2，这对所有八次试验(平局)都是一样的。因此，涉及到更换球的试验称为伯努利试验。

(b)对于第二种情况，当抽到一个没有放回的球时，成功的概率(例如白球)随试的次数而变化。例如第一次试验，成功的概率，p=10/20第二次试验，成功的概率，p=9/19不等于第一次试验。因此，不放回球的实验不是伯努利实验。

二项式分布

考虑投掷硬币的三次伯努利试验。让得到正面，代表成功，S，得到反面，代表失败F。我们有三种方法可以在三次尝试中获得一次成功，{SFF, FSF, FFS}。同样，两次成功一次失败有三种方式。一般公式为Cn(r)。其中n表示试验的次数，r表示成功或失败的次数。

上述情况的成功次数可以取四个值0、1、2、3。

设a表示成功的概率，b表示失败的概率。表示成功的随机变量X可设为:

P(X=0) = P(FFF) = P(F)×P(F)× P(F)

= b×b×=b3

并且;

P(X=1) = P(SFF, FSF, FFS)

= P(S)×P(F)×P(F) + P(F)×P(S)×P(F) + P(F)×P(F)×P(S)

= a×b× b + b×a× b + b× b× a =3ab2

以及;

P(X=2) = P(SSF, SFS, FSS)

=P(S)×P(S)× P(F) + P(S)× P(F)× P(S) + P(F)× P(S)× P(S)

= a × a × b + b × a × b + b × b × a=3a2b

还有;

P(X=3) = P(SSS, SSS, SSS) = P(S) × P(S) × P(S)

= a × a × a = a3

这个投币的分布可以列表如下:

P(X)

3ab2

3a2b

我们可以将它与(a + b)3的二项展开式联系起来，以确定0、1、2、3次成功的概率。

因为, (a + b)3=a3+3ab2+3a2b+b3

对于n次试验，x次成功，S和(n-x)次失败的方法数，F可表示为:

在每种方法中，x次成功和(n-x)次失败的概率:

P(S)×P(S) ×…..× P(S)×P(F)× …..× P(F)× P(F)=axb(n-x)

因此，n次贝努力Bernoulli试验中x次成功的概率为:

因此，P(x)成功可以由(a + b)x的二项展开式中第n项给出，以上的概率分布可表示为:

X( 0, 1, 2, 3….x),

述概率分布称为二项分布。

二项分布的例子

如果投掷一枚均匀硬币8次，求以下概率:

(1) 恰好5次正面朝上

(2) 至少有5次正面朝上.

解:

反复抛硬币是伯努利试验的一个例子。根据问题:

试验次数: n=8

正面向上的概率: a= 1/2

反面朝上的概率： b =1/2

恰好有5次正面朝上:

x=5,

(b) 至少有5次正面朝上,

x ≥ 5,

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