小小的问题(小问题大思考)

导语：小小问题思路多一题多解“三例说”

平面几何中，不缺一些精简经典小问题，涵盖多个知识点，外拓多条思维路。今选遍三例，大家一起来“走走”：

【例一】（如图）△ABC中，∠C=90º，点D为其内一点，且∠ABD=30º，AC=AD=BC，求：∠CAD的度数

【分析】

（1）（图1）设BC=a，则AB=√2a，AD=a，∠DBC=15º，延长BD，过点A作AE⊥BD，垂足为E，∴∠CAE=∠EBC=15º，AE=AB/2=√2a/2，在Rt△ADE中，sin∠ADE=AE/AD=√2/2，∴∠ADE=45º，∴∠EAD=45º，则：∠CAD=30º

（2）（图2）以AB为边作正三角形△ABE，连DE，∠EAC=∠EBC=15º，∴∠DBA=∠DBE=30º，易证：△DBA≌△DBE，∴DA=DE=AC=BC，由AE=BE，易证：∴△ADE≌△ACB（SSS），∴∠DAE=∠CAB=45º，∴∠CAD=45º－15º=30º

（3）（图3）设AD=AC=BC=a，则AB=√2a，△ABD中，正弦定理AD/AB=sin30º/sin∠BDA，∴sin∠BDA=√2/2，由题意可得：∠BDA为钝角，∴∠BDA=135º；∴∠BAD=15º，∴∠CAD=30º

【例二】（如图）在△ABC中，∠BAC=45º，AH为BC边上的高，若：BH=2，HC=3，求：高AH的长度

【分析】

（1）（如图1）作△ABC的外接圆O，连接半经OA=OB=OC=5/2sin45º=5√2/2，∠BOC=90º，过圆心O分别作BC、AH的垂线段OM、ON，垂足M、N，易得：OM=5/2，ON=1/2，Rt△AON中，AN²=（5√2/2）²－（1/2）²=49/4，∴AN=7/2，AH=7/2＋5/2=6，∴高AH长度为6

（2）（如图2）同时，将Rt△AHC沿边AC反折得Rt△ACM，将Rt△AHB沿边AB反折得Rt△ABN，则：∠NAM=90º，AN=AM=AH=h，延长NB，MC交于点D，易证：ANDM为正方形，在Rt△BCD中（h－2）²+（h－3）²=5²，解得：h=6，即：高AH的长度为6

（3）（图3）在AH上分别取点M、N两点，使MH=BH=2、NH=CH=3，得两等腰直角三角形，则有∠HBM=∠HMB=∠HCN=∠HNC=45º，可得：∠BAM＋∠HAC=45º=∠ACN＋∠HAC，∴∠BAM=∠ACN，易证：∴△ABM∽△CAN，∴2√2/（h－3）=（h－2）/3√2，解得：h=6，即：高AH的长度为6

【例三】（如图）在△ABC中，D为BC边上一点，且AD=CD，点E在边AD上，且∠CED=∠B，求证：AB=CE

【分析】

（1）（图1）在BD边上取点F，使AF=AD，则：∠AFD=∠ADF，∴∠AFB=∠CDE，AF=CD，又：∠1=∠B，∴△ABF≌△CED，∴AB=CE

（2）（图2）延长AD至F，使DF=BD，连CF，则：△ABD≌△CFD，∴AB=CF，∠F=∠B，又：∠1=∠B，∴∠1=∠F，∴EC=CF=AB，即：AB=CE

（3）（图3）将△CED绕点D逆转，使CD与AD重合，得△AFD，则：△CED≌△AFD，CE=AF，∠ECD=∠FAD，∠1=∠AFD=∠B，∴ABFD共圆，∴∠2=∠3，∠FAD=∠FBD，而∠2=∠1＋∠ECD，即∠2=∠1＋∠FAD=∠ABD＋∠FBD=∠ABF，∴∠3=∠ABF，∴AB=AF，即：AB=CE。

以上三例之分析，“道听度说”供参考。

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