根号2数学危机(数学根号2是什么意思)

在生活中，很多人可能想了解和弄清楚第一次数学危机：小小的根号2居然让数学家去杀人的相关问题？那么关于根号2 数学危机的答案我来给大家详细解答下。

一、数学家也杀人

在外流浪多年的希帕索斯还是忍不住对故乡的思念，他决定要回家看一看，随着时间的流逝，说不定人们已经忘记了他的“滔天罪行”，要是那样的话，他就可以在故乡颐养天年了。

可是他想错了，人们并没有忘记他，迎接他的是依旧是严酷的惩罚，他的朋友们把他五花大绑扔进了爱琴海。

那么希帕索斯到底犯下了什么罪行呢？以至于他的朋友要对他处以极刑，说起来有些滑稽，希帕索斯只是发现了真理。

希帕索斯是著名的毕达哥拉斯的优秀学生，提起毕达哥拉斯，我们一定会先想起的是毕达哥拉斯定理，我们一般称之为勾股定理。

勾股定理可以说是几何学中第一个美妙的定理，也是毕达哥拉斯名扬千古的原因，可是这个定理却不是他发现的，古巴比伦早就知道了这个定理，而毕达哥拉斯曾游学于古巴比伦，这就是说，毕达哥拉斯可能是在巴比伦人那里学到了这个定理，这样看起来毕达哥拉斯有点名不符实呀，并不是啊，因为毕达哥拉斯第一个证明了勾股定理，这才是最重要的，而且推导证明这一系列的思想方法都是毕达哥拉斯第一个提出的。

在毕达哥拉斯之前，人们的知识都是经验的总结，并没有建立在严格的逻辑基础之上，包括勾股定理也是这样的，所以说对毕达哥拉斯如何推崇都不为过。

毕达哥拉斯学成之后，回到了家乡开办学校，这是古希腊的优良传统，可是他的学校开办的并不成功，因为他不但传授知识，他还探讨哲学。传说哲学这词就是他创造的，意思是智慧，数学只不过是他认识这个世界的工具，数学这个词也是他创造的，意思是可以学到的知识，从这两个词就可以看出来他的抱负，毕达哥拉斯对于自己的定位是哲学家。

毕达哥拉斯的哲学思想就是“万物皆数”。

在毕达哥拉斯看来，数字是世界的本源，宇宙都是按照数字的规则运行的，这种想法并不算错，即便到了今天也还有市场，我们的现在的计算机互联网也都是以数字为基础的，不是有种说法叫“数字化生存”嘛，这就是肇始于毕达哥拉斯。

毕达哥拉斯的思想没有错，可是他认识的数却有问题。

毕达哥拉斯理解的数就是自然数，就是1、2、3……这样的数，至于分数也就是小数认为是自然数的比，这叫做可以公度的数，而且分数只用在世俗的商业中，正统的数学家是不屑一顾的，不过好歹还承认了分数的存在。

可是希帕索斯却发现了不一样的数。

作为毕达哥拉斯的优秀弟子，希帕索斯自然要研究毕达哥拉斯定理，可这一研究就研究出了问题。

希帕索斯发现等腰直角三角形的斜边出现了问题。

为了简便，咱们设等腰直角三角形的直角边长度为1，根据毕达哥拉斯定理，直角三角形的斜边的平方就等于两个直角边的平方，用公式表示就是：

而等腰直角三角形呢，斜边长度就是c2=1＋1=2，要是再开平方的话，c=√2，看起来没有什么大不了，是吧？可是这对于毕达哥拉斯学派来说却是致命的打击。

二、第一次数学危机

首先√2不是自然数，这是肯定的，那么再看看是不是可以公度，就是是不是可以表示成分数，要是可以的话，也还在毕达哥拉斯的掌控之下。

那么就来证明一下吧，顺便说一下，证明这个方法也是毕达哥拉斯提出的，不过这还不好证明，那就用反证法吧。

先假设√2可以表示公度就是可以表示成分数，那么√2就可以表示为p/q，p、q都是自然数，而且p/q是既约分数，既约分数就是不可以再化简的分数。

那么p=√2q，等式两边同时平方，那么等式还是相等的，这就得到了p2=2q2，可以看出，p2肯定是偶数，既然p2是偶数，那么p肯定也是偶数，要是p是偶数的话，那么q肯定是奇数，要是q不是奇数的话，p/q就可以继续化简下去，前面已经说过了，p/q不能再化简了。

q是奇数，q就可以写成2m-1，p是偶数，p可以表示成2n，再把p和q代入刚才的p2=2q2，那么就变成了4n2=4m2-4m＋1,式子左边肯定是个偶数，式子右边则肯定是个奇数，而奇数和偶数是不可能相等的，这就引出了矛盾，既然有了矛盾，这就说明最初的假设是错误的，最初的假设是什么呀，就是√2可以公度，可以表示成p/q，刚才的推理已经证明了这是错的，也就是说√2不可以公度。

而在毕达哥拉斯看来，任何数都是可以公度的，可√2不能公度，这不是不讲理吗？这就是无理数，开玩笑了呀，其实这种说法是不对的，要是√2不能公度的话，这意味着毕达哥拉斯是错的，照这个思路想下去，那么万物皆数的思想也是错的，这可了不得了，因为当时已经有了毕达哥拉斯学派。

毕达哥拉斯学派可和后来哥本哈根学派哥廷根学派不一样，后来的学派都是大家凑一块研究学问的，用孔夫子的话来说，就是“君子群而不党”，虽然也会“党同伐异”，那也是学术观点上的交锋。

而毕达哥拉斯学派就不同了，不但是一个学术团体，还是一个政治宗教团体，要想加入学派，不仅仅要有一定学术水平，还得经过一些神秘的仪式，还要宣誓效忠毕达哥拉斯，加入教派后，一切财产都要归公，看起来和墨家有些类似。

在这样的一个学派里，提出了和学派宗旨相悖的说法，那么下场就有点可怕了，关键是希帕索斯的观点还是正确的，大家都反驳不了。

既然解决不了问题，那就解决提出问题的人吧，毕达哥拉斯的弟子们想起了这条颠扑不破的真理，他们决定严密封锁这条消息，要是谁泄露了消息，那就直接活埋，可是消息还是泄露了出去，经过追查，人们发现泄露这个消息的就是希帕索斯本人，这一点，希帕索斯就比不上后来的哥白尼了，哥白尼也知道“日心说”会引来轩然大波，轻则丢工作，重则小命不保，所以哥白尼在临死前才出版了《天体运行》。

希帕索斯又不想被活埋，只好逃亡了，结果还是思念故土，结果就出现了开头的一幕。

希帕索斯虽然被丢进了大海，可他溅起的浪花却动摇了数学的根基，这就是第一次数学危机。

既然危机已经出现了，那就得想法解决，老这么掩耳盗铃地杀人也不是个事儿。

第一次数学危机说到底是毕达哥拉斯把所有的问题都当做了数，而毕达哥拉斯的数指的是自然数，而自然数是离散的，不连续的，可公度说的就是两个离散量的比例，所以说第一次数学危机本质上是离散和连续的问题。

可世界上还有许多东西是连续的，比如长度面积体积等等，所以说只要把长度面积这些连续量引入数学就可以解决第一次数学危机，这个工作就由欧多克索斯来完成了。

三、危机如何解决

欧多克索斯出身于医学世家，他和毕达哥拉斯一样喜欢四处游历，也溜达到了巴比伦和埃及，在那里学会了很多数学知识，从这里也可以看出来，古希腊根本就没有传说中那么神奇，他们好多知识都是来自于其他文明。

回到希腊之后，他也和毕达哥拉斯一样开办了学校，开始设帐收徒，其实学校才是古希腊文明的高明之处，正因为有了学校，知识才可以流传。

欧多克索斯创造性的提出了“量”的概念。

“量”和“数”不同，“数”是离散的，而“量”是连续的，这就从根本上提供了解决第一次数学危机的思路。

有了“量”的概念，欧多克索斯又改进了比例的定义，毕达哥拉斯也讨论过比例，不过他的比例只是两个自然数的比值，就是可公度，而欧多克索斯认为“比”是同类量之间的大小关系．如果一个量加大若干倍之后就可以大于另一个量，则说这两个量有一个“比”。

有了“量”和新的“比例”，就可以不再讨论是不是可以公度，第一次数学危机也就迎刃而解了。

不过这种解决方法并不完美。

首先在欧多克索斯的比例定义中偷偷摸摸地把零排除在外，这就埋下了第二次数学危机的隐患，其次欧多克索斯只是另外创造了“量”的概念，他并没有解决数的问题，这虽然比起把人扔进大海来好了许多，可也算是逃避了问题。

无理数的问题说到底是无限的问题，而无限的问题在古希腊本来就讨论过，比如芝诺的悖论，什么飞矢不动了阿喀琉斯追不上乌龟了，可讨论的结果是什么也没有讨论出来，干脆就不讨论了，遇到无限的问题的时候就尽量避开。

第一次数学危机最大的影响是人们认识到数学也不是可以主观认定的，而是也必须要经过严密的推理和证明，这就是公理化思想的起源。

公理化思想则催生了欧几里得的《几何原本》的出世，毕竟长度面积都是连续的，可以肆无忌惮地讨论比例问题，对于几何学来说，这就是相似。

即便如此，欧几里得也很小心地避开了无限，在第五公设中就涉及到了无限，那么第五公设就可能有问题，欧几里得应该也知道这一点，在《几何原本》中，不到万不得已的时候他是不会使用第五公设的，可就算是如此小心，也没有躲过无限的魔咒，在对第五公设的质疑中，后来诞生了非欧几何。

这其实和无理数是一回事，无理数是无限长，第五公设也是延伸到无限长就出了问题，可就算是非欧几何出来了也没有解决无限的问题，因为除了无限大还有无限小。

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