开区间连续函数有界性(为什么开区间连续函数不一定有界)

导语：什么样的情况下，有限开区间上的连续函数就一致连续？

我们知道闭区间上的连续函数具有一致连续性，那你知道有限开区间上的连续函数一致连续的充要条件是什么吗？

在开区间上的连续函数一致连续的充要条件是，两个端点全收敛，即左端点的右极限和右端点的左极限都存在且都是有限值，即不是趋于无穷大的。

证明：在(a,b)上连续函数f为一致连续的充要条件是：f(a+0)、f(b-0)存在且有限.

证：[必要性]设f在(a,b)一致连续，则∀ε>0, ∃δ>0，必要性就是证明开区间上一致连续的函数，两个端点对应的单侧极限都存在，且都是有限值】

使当x’,x”∈(a,b)且|x’-x”|<δ时，有|f(x’)-f(x”)|<ε，【这是一致连续的定义。有没有发现，一致连续性的定义几乎和函数的柯西收敛准则是一模一样的。当然，两者之间有一定的区别，但原理上还真的是一样的】

则有，当x’,x”∈(a,a+δ)时，有|x’-x”|<δ，从而有|f(x’)-f(x”)|<ε，【这是左端点的右邻域上的情形，在这个时候，一致连续性就和柯西收敛准则统一，但侧重点仍有不同】

由函数极限的柯西准则知f(a+0)存在且为有限值。【柯西收敛准则只是考虑一点的情况，即在左端点函数的极限存在，且为有限值】

同理可证f(b-0)存在且为有限值.【从而必要性得证】

[充分性]设f在(a,b)，且f(a+0)、f(b-0)存在且有限，【充分性就是证明连续函数在开区间两个端点收敛于一个有限值时，函数一致连续】

补充定义f(a)=f(a+0), f(b)=f(b-0)，使f在[a,b]上连续，【由于两个端点的单侧极限存在，所以可补充定义两个端点的函数值，使函数在闭区间上连续】

从而一致连续，∴f在(a,b)一致连续.【由连续函数在闭区间上的一致连续性，可知f(x)在[a,b]上一致连续，自然也在(a,b)上一致连续了，充分性得证】

从而整个命题得证。不过这个命题在无限区间上充分性成立，而必要性未必存在。

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