有限差分运算(有限差分方法综述)

导语：数值计算中的有限差分法

早期，在科学技术的发展过程中，理论分析和实验研究一直是两种主要的科学方法，但是随着计算机的出现与发展，情况就大大不同了，研究者可以采用计算机去计算过去那些根本不能求解的问题，模拟一些难以观测的现象，第三种科学方法——数值计算诞生了。

有限差分法作为一种最为朴素的计算方法，发展时间也最为悠久，至今依然活跃。有限差分法的朴素思想就是，在求解连续性问题时，将时空域离散后，利用差商代替微商求解问题。

从应用上看，有限差分法常使用在求解时间依赖问题（双曲型和抛物型方程），而有限元主要求解稳态问题（椭圆型方程）。从建立差分格式的方法上看，有限差分法既可以根据Taylor级数展开建立差分格式，也可以根据积分方法建立差分格式，其中，积分方法由于其本身的特殊性，也被单独称为有限体积法。

从微分方程建立差分方程，方法格式层出不穷，但三个基本性质确是核心所在，即差分格式的相容性、收敛性和稳定性。

相容性：当时间和空间离散步长足够小时，差分方程将与微分方程充分的接近。收敛性：当时间和空间离散步长足够小时，差分方程的解将逼近微分方程的解。稳定性：有限差分格式是按照时间层逐层推进，如果初始计算引入的误差，随着逐层计算被控制，那么这个差分格式就是稳定的。

上述三个性质，通常是互相独立的，也就是相容的差分格式并不一定收敛。

通常，判断一个差分格式是否相容是简单的，只需要将微分方程光顺解带入差分方程再进行Taylor级数展开就可以得到截断误差，而截断误差是衡量相容性的重要标准。然而，判断一个差分格式是否收敛是复杂的。相容性和收敛性是差分格式本身的属性，而稳定性不仅与差分格式有关，还与离散的网格比大小有关。

实际问题中，如果研究一个差分格式的性质，需要从上述三个方面入手，这是麻烦的，能否将三个性质联系起来？特别是收敛性，能否有间接判断的依据？下面的定理给出了答案：

一般来说，证明一个差分格式的收敛性是困难的，而判断其稳定性则有许多方法，比如Fourier方法，von Neumann条件，Hirt启示性方法等等，其中应用最广泛的是von Neumann条件和其变形。

Neumann准则是十分重要的，其内容这里不再叙述，网上资料很多。但必须注意，Neumann条件是一个必要条件，下面两个定理说明了条件的充分性。

自此，差分格式的基本性质叙述完毕，有限差分法比起有限元来说理论简单不少，但是，真正活用理论解决实际问题是困难的。下面通过一个简单的双曲型对流方程说明这个问题。

一维常系数双曲型对流方程为：

为了求解这个方程，考虑其差分格式是最简单的方法，根据系数a的不同，有以下四种离散方法：

这是四种格式可能是最常用的，很多人实际使用时可能随便选一种就使用。这四种格式差距非常小，看（1）和（3）式，仅在空间离散时选取的点不同，那么它们的相容性、收敛性和稳定性如何呢？

首先，这四个格式都是相容的，至于收敛性和稳定性，采用von Neumann条件判断易知，格式（1）和（2）是条件收敛的，而格式（3）和（4）是完全不收敛的。如果采用后两种格式计算，是完全得不到正确结果的。其根本原因在于，上述的对流方程是双曲型的，沿其特征线方向是有信息传递的，因此，选取的网格点应该与双曲方程特征线一致才行，这也是上述（1）（2）格式被称为迎风格式的原因，要迎“风”不能背“风”。

下面这个格式被称为Richardson格式，从截差角度上说，这个格式是二阶精度的，似乎比迎风格式好，但是，这个差分格式实际完全没有实用价值，因为是不收敛的：

通常来说，差分格式都是条件收敛，很少有绝对收敛的，比如Crank-Nicolson格式是绝对收敛的。当然，条件收敛不一定就差，绝对收敛也不一定就好，关键还是要满足需求条件才行。前面反复说到条件收敛，那么这个条件到底是什么，什么条件下差分格式才收敛？下面的定理回答了这个问题。

最后我们来谈谈上述对流方程初值问题的依赖区域，简单的说，为了计算某一层网格点的数值，需要用到上一层的数值，上一层的数值又需要用到上上一层，依次递推到第一层上。第一层上的这些网格点值，都会影响我们所计算的某点的值，这就是差分格式的依赖关系。而微分方程的依赖关系，如上述的对流方程，它是双曲型方程，因此它的依赖区域和特征线息息相关。实际上，上述对流方程是条件收敛的，这个条件最后化简就是：

得到的正是我们常在计算中使用的库朗条件。

上述理论是有限差分法的冰山一角，理论虽然简单，但是灵活运用却是格外复杂，越是简单的东西，使用起来越要小心，稍不注意，就会陷入不收敛的尴尬境地！！

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