复数是真实的吗还是虚拟(复数是实数吗)

导语：复数是真实的吗？

这对数学哲学来说是一个根本的问题，它背后的大题目就是：数学究竟是发明还是发现？

先看下面的两个截图。

我们不讨论这个知名的哲学问题，只看复数。潘建伟团队已经成功表明：复数至少对于量子力学来说是真实的。注意，关键点不在于所谓测量到了波函数的实部和虚部，而是——当我们因无解时而创造出的相关的代数和分析理论，当它们能够成功地被量子力学应用且后者能够被实验支持时，我们发现：初衷不是为了科学目地的数学理论居然无可比拟的好使！

喔，这真的很神奇！

数学理论肯定不都是为了物理而生：选择公理导致的分球悖论就让人们对它极端恐惧；无穷大理论也没有自然实在的对应；代数几何的概形、椭圆曲线的模性模式都是不是为了研究自然定律而生的。

即便是对于量子力学，在这之前我们也是只是以为，复数的理论好用，而且量子力学被实验支持，那么就用就完了，要是不好使了就再寻找一个理论替代它。你以为复数没有再推广吗？不，它推广了两次！四元数和八元数。

威廉·罗恩·哈密顿这位英国最大伟大的数学、物理学大师之一，花了很多年终于意识到如果舍弃乘法的交换律，那么他心爱的四元数就可以完成了。他兴奋地把这个想法刻在了桥边的石台上。再后来，八元数继承了四元数的衣钵，成为旋量的表述。这时有人开始思考十六元数，然而，这东西已经不可能了，为什么？看下图。

曹泽贤教授在国科大的PPT讲义

没有交换律的数学内容太多了，矩阵的乘法，张量的乘法；没有结合律的虽然不常见的，但也不是没有，减法就不符合结合律，向量的混合积也不符合结合律。但是结合律其实是非常重要的，群的公理就要求必须满足结合律。当交换结合都不满足时，再往下构造可能连运算封闭都舍弃了，那就真是糟糕了，因为一旦运算不封闭，很多东西都不确定了，比如无理数的四则运算，例如，我们悲哀地连是不是无理数都不知道。

因此八元数已经到头了。而且它对应旋量，也是在为量子力学服务，保不齐，复数的真实性也能连带为八元数的实在提供支持，当然这都是后话了。

复数的诞生是按照高斯的理念来的，他说：“如果它不再有意义时，我们应该问如何做出假设使它继续有意义。”这指的就是虚数的真实性问题。为此我们做出了牺牲和选择：复数集是实数集的推广，但是是代数性质的推广，而不是全性质的推广。复数作为“域”舍弃了实数的全序性质(任意两个数能够比较大小)——虽然我们可以给复数集定义全序，但是我们定义的任何全序都与复数作为一个代数结构——“域”的性质矛盾。从实用来讲，我们更看重的是复数的代数性质而不是序性质，所以我们认可了这种舍弃！

这种舍弃换来的就是上面潘建伟教授团队对于复数真实性的证明。

其实，实数的代数性质是日常生活的总结与概括，它足够完备，足够好用，与我们非科技工作的日常生活无关。只要你不与科技打交道，仅有理数的四则运算足够伴你一生。复数的代数性质完全继承了实数，在发明复数时，我们只是不知道是否有这么一个物理领域或者自然实在必须要用复数来表示，然而，无论有没有，都不会阻止数学家推广实数的脚步，为什么？

因为无解的问题就在那里。

如今，只是我们很幸运地知道了这个问题的答案——至少对于量子力学来说，复数是必不可少的。

最后，确实存在一个不是八元数的常见的数学对象，它不满足交换律和结合律，你知道它吗？

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