图形重叠部分的面积(重叠部分面积公式)

导语：动图与重叠部分面积

例　如图，在等腰直角△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，AC＝6，点D从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，过点D作DE⊥AC交折线AB－BC于点E，以DE为边向右作长方形DEGF，使DE＝2DF，设点D的运动时间为t秒(0＜t<6).

(1) 用含t的代数式表示线段DE的长；

(2) 当点G落在BC边上时，求t值；

(3) 求长方形DEGF与△ABC重叠部分图形的面积S与t之间的关系式.

解析

(1) 如下左图，DE＝AD＝t(0＜t≤3)；

如下右图，DE＝CD＝AC－AD＝6－t(3<t<6).

(2) 如图，易得t＋t＋t＝6，易求t.

此题作用是帮助确定t范围.

(3) 分情况画图(每一种图形尽量极端，这样便于求t值范围；一般分情况要写出t的范围).

①E在AB上，矩形完全在三角形内，极端情况G在BC上.

②E在AB上，G在△ABC外.极端情况E和B重合.

③E在BC上.

答案　

(1) t(0＜t≤3)，或6－t(3<t<6).

(2) 如图，AD＝t，∵∠A＝45°，∠ADE＝90°，∴DE＝t.

又易求FG＝CF＝t，DF＝t，AC=6，

∴t＋t＋t＝6，∴t＝.

(3) 如图，S＝DE×DF

＝t×t＝t(0＜t≤).

如图，AD＝DE＝FG＝t，DF＝t，CF＝6-t-t＝6－t，

GN＝t-(6－t)＝t－6，

则S＝矩形DEGF面积－△MGN面积

＝t－( t－6)

＝－ t＋15t－18 (＜t≤3) .

如图，AD＝t，DE＝CD＝6－t，

DF＝(6－t)，CF＝(6－t)，

则S＝梯形DEMF面积

＝[(6－t)＋(6－t)]×(6－t)×

=(6－t)(3＜t＜6).

练习

如图，在等腰直角△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，AC＝8，点D从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，过点D作DE⊥AC交折线AB－BC于点E，以DE为边向右作长方形DEFG，使EF＝2DE，设点D的运动时间为t秒(0＜t<8)， 求长方形DEFG与△ABC重叠部分图形的面积S与t之间的关系式.

练习解析及答案：

解析

(1) E在AB上，矩形完全在三角形内，极端情况F在BC上.

(2) E在AB上，F在三角形外，G在CD上.极端情况G和C重合.

(3) E在AB上，F在三角形外，G在CD延长线上.极端情况E和B重合.

(4) E在BC上.

答案　

(1) 如图，S＝DE×EF＝t×2t＝2t(0＜t≤2).

(2) 如图，AD＝DE＝t，DG＝2t，

CG＝GN＝8－3t，

NF＝t－(8－3t)＝4t－8，

则S＝矩形DEFG面积－△MFN面积

＝2t－(4t－8)

＝－6t＋32t－32(2＜t≤) .

(3) 如图，AD＝DE＝t，CD＝8－t.

作MN⊥CD于N，则MN＝CN＝t，

∴DN＝EM＝8－2t，则S＝梯形DEMC面积

＝[(8－2t)＋(8－t)]×t×

＝－t＋8t(＜t≤4).

(4) 如图，AD＝t，CD＝DE＝8－t， S＝(8－t) (4＜t＜8).

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