无穷小替换例题(无穷小替换公式大全)

导语：无穷小替换问题

关于等价无穷小的替换问题，经常会让人感到困惑，这里转载一篇相关论文加以说明。

以上说明，在除法运算时，分子分母都可以通过相关无穷小予以替代。当然，多个无穷小相乘可以分开进行替代，或者分子分母是多个无穷小相乘的时候，可以按极限运算规则分开进行计算替代。

以上替代的时候就出错，原因在于：

从上图我们可以看到，等价无穷小替代的实质其实就是函数的麦克洛林级数的展开式。而上文所进行的等价无穷小替代，其实就是用函数展开式的第一项代替原函数，比如直接用x替代tanx,sinx等。这种替代出错的原因就在于，当我们把展开式后面部分忽略的时候，没有考虑分母的情况。上图例子中分母是三次方，当我们忽略分子替代式中的三次方及其更高次方的时候，因为三次方的分子与分母的三次方相除，其结果不一定为0，这种情况下的忽略就会导致错误。所以，当分母是三次方的时候，分子至少要保留到三次方或者更高次幂才不会出错。

上图的意思是说，当分子和差构成的两个不同项不是等价无穷小的时候可以进行替代。

以上是各种复合函数的等价无穷小替换原则。

综上：

1：等价无穷小可以在乘除运算中极限替代。

2：等价无穷小在加减运算中进行替代，需遵循一定的规则。

3：等价无穷小还可以在复合函数运算中进行替代。

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