20世纪纯粹数学的主要趋势和特点是什么(20世纪纯粹数学发展的主要特征)

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（1）更高的抽象性

两大因素：康托尔所创立的集合论观点，希尔伯特的公理化方法、集合论观点和公理化方法在20世纪逐渐成为数学抽象的范式，它们相互结合将数学的发展引向了高度抽象的道路，这方面的发展，导致了20世纪上半叶实变函数论、泛函分析、拓扑学和抽象代数等具有标志性的四大抽象分支的崛起。

a）首先，20世纪初，勒贝格建立了勒贝格积分，勒贝格积分使原来在黎曼意义下不可积的函数按勒贝格的意义变得可积，经过进一步推广形成了一门新的数学分支——实变函数论，是普通微积分的推广，使微积分的适用范围大大扩展，引起数学分析的深刻变革，勒贝格积分理论可以说是20世纪数学开门红的重大贡献之一，我国数学进入现代分析的领域。

b）数学家们通过对变分法和积分方程理论的研究，开始了对泛函分析的抽象理论的讨论，随后里斯和费舍尔建立了里斯一费舍尔定理，弗雷歇和巴拿赫都是抽象泛函分析的奠基人。广义函数论的建立是20世纪泛函分析发展中的又一重大事件，标志着函数概念发展史上的一个新阶段。泛函分析有力地推动了其他分析的发展，使整个分析领域的面貌发生了巨大变化。泛函分析的观点与方法还渗透到其他科学与工程技术领域。

c）诺特及其学派最终确立了公理化方法在代数领域的统治地位，她发表的《环中的理想论》是现代抽象代数的开端，诺特利用公理化方法发展了一般理想论，奠定了抽象交换环理论的基础。后来，诺特又建立了非交换代数及其表示理论，“代数主定理”还被外尔称为代数发展史上的一个重大转折。

d）庞加莱发表的《位置分析》，开创了现代拓扑学研究，并加以研究了组合拓扑学，首次建立了庞加莱对偶定理，提出了庞加莱猜想。随后，诺特定义的同调群，将拓扑问题转化为抽象代数问题。同调论和同伦论起推动组合拓扑学逐渐演变成主要利用抽象代数方法的代数拓扑学。莱夫谢茨《代数拓扑学》的出版，标志着代数拓扑学这一分支学科的正式形成。豪斯多夫发表的《集合论基础》，标志着点集拓扑学的正式诞生。

【e）概率论的奠基人是雅各布伯努利，建立了概率论中第一个极限定律，伯努利大数定律。后来，拉普拉斯在概率论中引入分析方法，把概率论提高到一个新的阶段，近而推动概率论的公理化。】

这四大分支所创造的抽象语言、结构及方法，又渗透到数论，微分方程论，微分几何、代数几何、复变函数论及概率论等经典学科，推动它们在抽象的基础上革新提高、演化发展。

（2）更强的统一性

20世纪下半叶，数学科学的统一化趋势空前加强，不同分支领域的数学思想与数学方法相互融合，导致了一系列重大发现以及数学内部新的综合交叉学科的不断兴起。

1）惠特尼《微分流形》创立了微分拓扑学，后来定义了作为纤维丛结构的基本不变量的惠特尼示性类，因为涉及上同调类，因而使微分拓扑学与代数拓扑学紧密地联系起来。微分拓扑学又在的1950年代由于米尔诺等的工作而进入了黄金时期。

2）1925年，霍普夫注意到黎曼空间的微分几何结构，微分几何开始经历从局部到整体的转移。纤维丛和示性类的引入，使整体微分几何的研究出现了突破，整体微分几何则表现出与现代分析更深刻的联系，特别是非线性偏微分方程理论的运用，引出了整体微分几何的重大成果。

3）范德瓦尔登利用交换代数的方法：“奠定了代数几何的新基础，韦依发表《代数几何基础》，利用抽象代数方法建立了抽象域上的代数几何理论，格罗腾迪克将代数簇推广为概型，概型的概念使代数几何的发展进入了新阶段，形成了算术代数几何。”

4）多复变函数论是单复变函数论的推广，到20世纪下半叶，多复变函数论的研究才取得了长足的进步——古典黎曼一洛赫定理的推广。华罗庚建立了多个复变数域上的调和分析理论，形成了中国数学家在多复变函数论研究方面的特色。

5）动力系统的研究由拓扑学方法和分析方法的有力结合而取得了重大进步，这方面的研究涉及众多的数学分支。

6）用抽象空间上的微分算子来表述偏微分方程并应用各种泛函分析的方法加以研究，引出了偏微分方程论的许多重要成果。

7）日本数学家伊藤清引进的随机积分与随机微分方程，为随机分析的发展奠定了基础。自那以后，概率论向分析与几何领域渗透日益加剧，还产生了随机微分几何、无穷维随机分析等领域，数字的有机统一，是这门科学固有的特点，尽管现代数学知识千差万别，在作为整体的数学中，使用着相同的工具与算法，存在着概念的亲缘关系，数学内部的这种统一性，必须对它所应用的科学技术领域带来深远影响。数学科学的统一趋势将保持下去，并继续成为21世纪数学的重要特征之一。

（3）对基础的深入探讨

数学的严格基础，自古希腊以来就是数学家们追求的目标。但在20世纪以前经历了两次，巨大的考验，一次是古希腊不可公度量的发现，一次是关于微积分基础的争论，而19世纪末分析严格化的最高成就集合论的相容性被集合论悖论（罗素悖论）打破。

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