贾宪三角在西方文献中称为(贾宪三角的规律)

导语：早于西方六百年研究数学开方问题的贾宪三角

贾宪三角是“开方作法本源图”的今称，由中国北宋数学家贾宪首创。西方称之为帕斯卡三角，晚于贾宪六百多年。

《详解九章算法》（《永乐大典》本）中关于贾宪三角记载的页面

贾宪是北宋著名数学天文学家楚衍的弟子，作过左班殿直，活动在11世纪上半叶，他以刘徽、李淳风作注的《九章算术》为底本，撰《黄帝九章算法细草》九卷（《宋史·艺文志》），又撰《算法斅古集》二卷，均已失传。所幸杨辉的著作中保存了他的两项重要成就：贾宪三角和增乘开方法。

贾宪三角是一个指数为正整数的二项式定理系数表。杨辉在《详解九章算法》中曾记载“释锁算书，贾宪用此术”。

原图下面有五句话：“左衺乃积数，右衺乃隅算，中藏者皆廉，以廉乘商方，命实而除之。”前三句说明了贾宪三角的结构和它们在开方术中的作用。它的每一行中的数字依次表示二项式(α+b)n(n=0，1，2，…)展开式的各行系数。最外左、右斜线上的数字，分别是各次开方中积(αn)和隅算（bn）的系数，中间的数字“二”、“三、三”、“四、六、四”等等，分别是各次开方中的廉(积、隅、廉皆来自于古代开方术的几何解释。以开平方为例，初商α的平方，在图形中是一个大正方形，称为“积”，次商b的平方在图形中是占据一角的小正方形，称为“隅”，而2αb位于图形的两侧边，故称为“廉”）。在贾宪三角后，附有“增乘方求廉法”：“列所开方数，以隅算一，自下增入前位至首位而止。复以隅算如前陞增，递低一位求之。”根据“法”后注明的“草”，求开六次方的廉的程序如下：

第一位1　1+5=6，

第二位1　1+4=5　5+10=15，

第三位1　1+3=4　4+6=10　10+10=20，

第四位1　1+2=3　3+3=6　6+4=10　10+5=15，

第五位1　1+1=2　2+1=3　3+1=4　4+1=5　5+1=6，

最后得到的6、15、20、15、6就是六次方的各廉。

用这种随乘随加的增乘过程，可以求任意次方的廉。

图下面的后两句话简要说明了用各行系数进行开方的方法：以商的相应次方乘廉，去减实。如对数N开平方，用贾宪三角的第三层，确定初商α，得余实N-α2后，以初商乘廉，得2α；再定次商b，加次商于2α，乘以b，从余实N-α2中减去，它的算式就是 N-α2=(2α+b)b。 同样，开其他次方，亦可如法处理。说明当时中国数学家已把传统的开方术推广到开高次方。

同时，求贾宪三角各廉的增乘步骤，可以直接用来开方，从而创造了高次方程数值解法的新途径，这就是贾宪的另一成就增乘开方法。

古法七乘方图（清宛委别藏本）

元初朱世杰把贾宪三角由七层推广到九层(八次幂)，为高阶等差级数求和问题和高次招差法的发展，提供了有力的数学工具，贾宪三角对宋元数学的发展实有肇始之功。

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