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贾宪三角在西方文献中称为(贾宪三角的规律)

导语:早于西方六百年研究数学开方问题的贾宪三角

贾宪三角是“开方作法本源图”的今称,由中国北宋数学家贾宪首创。西方称之为帕斯卡三角,晚于贾宪六百多年。

《详解九章算法》(《永乐大典》本)中关于贾宪三角记载的页面

贾宪是北宋著名数学天文学家楚衍的弟子,作过左班殿直,活动在11世纪上半叶,他以刘徽、李淳风作注的《九章算术》为底本,撰《黄帝九章算法细草》九卷(《宋史·艺文志》),又撰《算法斅古集》二卷,均已失传。所幸杨辉的著作中保存了他的两项重要成就:贾宪三角和增乘开方法。

贾宪三角是一个指数为正整数的二项式定理系数表。杨辉在《详解九章算法》中曾记载“释锁算书,贾宪用此术”。

原图下面有五句话:“左衺乃积数,右衺乃隅算,中藏者皆廉,以廉乘商方,命实而除之。”前三句说明了贾宪三角的结构和它们在开方术中的作用。它的每一行中的数字依次表示二项式(α+b)n(n=0,1,2,…)展开式的各行系数。最外左、右斜线上的数字,分别是各次开方中积(αn)和隅算(bn)的系数,中间的数字“二”、“三、三”、“四、六、四”等等,分别是各次开方中的廉(积、隅、廉皆来自于古代开方术的几何解释。以开平方为例,初商α的平方,在图形中是一个大正方形,称为“积”,次商b的平方在图形中是占据一角的小正方形,称为“隅”,而2αb位于图形的两侧边,故称为“廉”)。在贾宪三角后,附有“增乘方求廉法”:“列所开方数,以隅算一,自下增入前位至首位而止。复以隅算如前陞增,递低一位求之。”根据“法”后注明的“草”,求开六次方的廉的程序如下:

第一位1 1+5=6,

第二位1 1+4=5 5+10=15,

第三位1 1+3=4 4+6=10 10+10=20,

第四位1 1+2=3 3+3=6 6+4=10 10+5=15,

第五位1 1+1=2 2+1=3 3+1=4 4+1=5 5+1=6,

最后得到的6、15、20、15、6就是六次方的各廉。

用这种随乘随加的增乘过程,可以求任意次方的廉。

图下面的后两句话简要说明了用各行系数进行开方的方法:以商的相应次方乘廉,去减实。如对数N开平方,用贾宪三角的第三层,确定初商α,得余实N-α2后,以初商乘廉,得2α;再定次商b,加次商于2α,乘以b,从余实N-α2中减去,它的算式就是 N-α2=(2α+b)b。 同样,开其他次方,亦可如法处理。说明当时中国数学家已把传统的开方术推广到开高次方。

同时,求贾宪三角各廉的增乘步骤,可以直接用来开方,从而创造了高次方程数值解法的新途径,这就是贾宪的另一成就增乘开方法。

古法七乘方图(清宛委别藏本)

元初朱世杰把贾宪三角由七层推广到九层(八次幂),为高阶等差级数求和问题和高次招差法的发展,提供了有力的数学工具,贾宪三角对宋元数学的发展实有肇始之功。

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