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三元二次方程组怎么解(三元二次解法)

在生活中,很多人可能想了解和弄清楚这么复杂的三元二次方程组,您会解吗?一般方法是行不通的的相关问题?那么关于三元二次方程组怎么解的答案我来给大家详细解答下。

三元二次方程组怎么解(三元二次解法)

最近有网友向老黄提问了这样一道解三元二次方程组的问题,方程组如下:

{x^2+xy+y^2=39;y^2+yz+z^2=49;z^2+zx+x^2=19}.

分析:不用说了,第一步肯定是给这个方程组的三个方程编号,以方便解题过程的组织了。乍看这个方程组,您有没有一种用完全平方公式解决它的冲动。那也不是一定行不通的,但老黄没有做到。

再继续观察,如果把三个式子相加,似乎就接近(x+y+z)^2的展开式了。不过这个方法老黄还是行不通。

或者会想到运用立方差公式,以①为例,就是等式两边同时乘以(x-y),得到x^3-y^3=39(x-y). 同样的,其它两个式子也能转化出类似的形式。转化出来的三个式子相加,可以得到2x+y-3z=0. 可以将z=(2x+y)/3,代入②或③中,就可以得到一个二元二次方程组,实现消元的目的。这个方法看似比较靠谱。但如果真的这样去做的话,几乎是不可能解出方程的根来的。

那到底应该怎么办呢?其实这道题还有另外一个版本,就是要求x+y+z的值。我们就朝着这个方向去努力,试试看。

解:由①-②得(x-z)(x+y+z)=-10, 由②-③得(y-x)(x+y+z)=30,

设y-x=30a (1), 则x-z=-10a (2), x+y+z=1/a (3),

(1)-(2)得:y+z-2x=40a,y+z=40a+2x,代入(3)得 40a+3x=1/a, x=(1-40a^2)/(3a),

y=30a+x=(1+50a^2)/(3a), 【现在发现了得到一个关于a的一元方程的可能】

将x,y代入①得:

((1-40a^2)/(3a))^2+(1-40a^2)(1+50a^2)/(3a)^2+(1+50a^2)^2/(3a)^2=39,【方程相当复杂,不过将a^2看作一个整体,化简之后,发现还是可解的】

(1-40a^2)^2+(1-40a^2)(1+50a^2)+(1+50a^2)^2=351a^2,解得:a^2=1/7或a^2=1/100,

当a^2=1/7时,a=根号7/7或-根号7/7,

x1=根号7 /3-40根号7/21,或x2=40根号7/21-根号7 /3,

对应的:y1=根号7 /3+50根号7/21或y2=-根号7 /3-50根号7/21,

z1=37根号7/3-40根号7/21,或z2=40根号7/21-37根号7/3.

当a2=1/100时,a=1/10或-1/10, x3=2,或x4=-2,对应的:

y3=5,或y4=-5, z3=3,或z4=-3.

您看明白了吗?

温馨提示:通过以上关于这么复杂的三元二次方程组,您会解吗?一般方法是行不通的内容介绍后,相信大家有新的了解,更希望可以对你有所帮助。