一致连续函数的积仍一致连续吗有没有什么关系(一致连续函数的乘积也一致连续)

导语：一致连续函数的积仍一致连续吗？有没有什么条件呢？

一致连续函数的积并不一定一致连续，它是有条件的。比如，在有限区间上的两个一致连续函数的积，就一致连续。

设函数f和g都在区间I上一致连续，若I为有限区间，证明：f·g在I上一致连续.

证：在有限区间I上任取一点x0, 则对任一x∈I, 都存在ε0>0,

使得f(x0)-ε0<f(x)<f(x0)+ε0，即f(x)有界, 同理g(x)有界,

∴存在M>0, 使得M>max{|f(x)|, |g(x)|},

又对任给的ε>0, 存在δ>0, 当x’,x”∈I，|x’-x”|<δ时，有

|f(x’)-f(x”)|<ε/(2M), |g(x’)-g(x”)|<ε/(2M), 从而有

|f(x’)g(x’)-f(x”)g(x”)|≤|f(x’)||g(x’)-g(x”)|+|g(x”)||f(x’)-f(x”)|<M·ε/(2M)+M·ε/(2M)=ε，

即f·g在I上一致连续.

那么有限区间这个条件是必要条件还是充分条件，抑或者是充要条件呢？其实它是一个充分条件，而非必要条件。因为只要是有限区间上的两个一致连续函数，它们的积就一致连续。而在无限区间上，虽然不能确定两个一致连续函数的积仍一致连续，但也不能确定结果不一致连续。你能证明或举例说明吗？

设函数f和g都在区间I上一致连续，若I为无限区间，举例说明：f·g在I上不一定一致连续；

证：设f(x)=g(x)=x，则f,g在R上都一致连续.

取ε0=1，对任何δ>0, 都存在n使1/n<δ

令x1=n, x2=n+1/n, 则|x1-x2|<δ，

但|x1^2-x2^2|=|x1-x2||x1+x2|=(2n+1/n)/n=2+1/n^2 >ε0.

∴f·g(x)=x^2在R上不一致连续.

设f(x)=x, g(x)=1，则f,g在R上都一致连续.

∴f·g(x)=x在R上一致连续.

综上可知，连续函数的积在无限区间上，不一定一致连续。

最后一个问题，两个一致连续函数的商，是否仍一致连续? 又有什么条件呢？这个问题就要复杂得多了。我们可以通过证明互倒的函数一致连续性的关系，再把除法转化成乘法，用积的规律来判断。所以商的规律也存在有限区间和无限区间的区别。而且互倒的函数，首先肯定不能为0，因为0的倒数没有意义。因此，它们还必须不变号，否则就在0这一点上违背连续函数的介值性定理。另外，还有一个必要条件，你知道是什么？

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