函数的连续性怎么判断(函数的连续性和间断点)

导语：函数的连续性

一、连续函数的概念

已知函数 f（x）在 a 存在极限 b ， 即

连续函数的概念图（1）

a 可能属于函数 f（x）的定义域；也可能不属于函数 f（x）的定义域，即使 a 属于函数 f（x）的定义域，f（a）也不一定等于 b 。

但是，当 f（a）= b 时，函数有着特殊的意义 。

1、函数在某一点处的连续性:

定义 ： 设函数 f（x）在 U（a）有定义。若函数 f（x）在 a 存在极限，且极限就是 f（a）, 即

连续函数的概念图（2）

则称函数 f（x）在 a 连续 ， a 是函数 f（x）的连续点 。

一般地，函数 f(x) 在点 x0 处连续必须同时具备三个条件：

连续函数图（1）

1、 f(x0) 存在，即函数 f(x) 在点 x0 处有定义 ；

2、

连续函数图（2）

3、

连续函数图（3）

例题1、讨论下列函数在给定点处的连续性。

例题1图（1）

解：

例题1图（2）

例题1图（3）

例题2、观察下列函数的图象，说出函数在 x=a 处是否连续。

例题2图（1）

例题2图（2）

2、函数在某一点单侧的连续性：

定义 ： 设函数 f（x）在以 a 为 左（右）端点的区间有定义。若

单侧连续性图

则称函数 f（x）在 a 右连续 （左连续）。

结论：

① 函数在一点处连续的充要条件是既左连续又右连续 。

结论图

② 开区间内连续 ：如果函数 f（x）在某一开区间 （a，b）内每一点处都连续，就说函数f（x）在开区间（a，b）内连续，

或说f（x）是开区间（a，b）内的连续函数。

③ 闭区间上连续：如果函数 f（x）在开区 间 （a，b）内连续，在左端点 x = a 处右连续，在右端点 x = b 处左连续，

就说函 数 f（x）在闭区间 [a , b ] 上连续。

二、闭区间上连续函数的性质：

闭区间连续函数的性质图

性质1、（有界性）若函数 f（x）在闭区间 [ a , b ] 连续，则函数 f（x）在闭区间 [ a , b ] 有界，即 存在 M > 0 ,

对任意的 x ∈ [ a , b ] , 有 ∣f（x）∣ ≤ M 。

注：在半开区间 ( 0 , 1 ] ，连续函数 f（x）= 1/x 无界 。

性质2、（最值性）若函数 f（x）在闭区间 [ a , b ] 连续，则函数 f（x）在闭区间 [ a , b ] 能取到最小值 m 与最大值 M ，

即 存在 x1 , x2 ∈ [ a , b ] , 使 f（x1）= M ， f（x2）= m ，

且 对任意的 x ∈ [ a , b ] , 有 m ≤ f（x）≤ M 。

性质3、（零点定理）若函数 f（x）在闭区间 [ a , b ] 连续，且 f（a）f（b）< 0 ,（即 f（a）与 f（b）异号），

则在区间 （a , b）至少 存在一点 c ， 使 f（c）= 0 。

性质4、连续函数的运算性质同极限的运算性质（略）。

例题3、证明：方程 x = cosx 在 （0 ，π/2）内至少存在一个实根 。

证明 令 f（x）= x - cosx , 则函数 f（x）= x - cosx 在 [0 ，π/2 ] 连续，并且 f（0）= -1 < 0 ,

f（π/2）= π/2 > 0 . 根据零点定理 ，函数 f（x）= x - cosx 在 （0 ，π/2）内至少存在一点 c ，使

f（c）= c - cosc = 0 , 即 方程 x = cosx 在 （0 ，π/2）内至少存在一个实根 。

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