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函数的连续性怎么判断(函数的连续性和间断点)

导语:函数的连续性

一、连续函数的概念

已知函数 f(x)在 a 存在极限 b , 即

连续函数的概念图(1)

a 可能属于函数 f(x)的定义域;也可能不属于函数 f(x)的定义域,即使 a 属于函数 f(x)的定义域,f(a)也不一定等于 b 。

但是,当 f(a)= b 时,函数有着特殊的意义 。

1、函数在某一点处的连续性:

定义 : 设函数 f(x)在 U(a)有定义。若函数 f(x)在 a 存在极限,且极限就是 f(a), 即

连续函数的概念图(2)

则称函数 f(x)在 a 连续 , a 是函数 f(x)的连续点 。

一般地,函数 f(x) 在点 x0 处连续必须同时具备三个条件:

连续函数图(1)

1、 f(x0) 存在,即函数 f(x) 在点 x0 处有定义 ;

2、

连续函数图(2)

3、

连续函数图(3)

例题1、讨论下列函数在给定点处的连续性。

例题1图(1)

解:

例题1图(2)

例题1图(3)

例题2、观察下列函数的图象,说出函数在 x=a 处是否连续。

例题2图(1)

例题2图(2)

2、函数在某一点单侧的连续性:

定义 : 设函数 f(x)在以 a 为 左(右)端点的区间有定义。若

单侧连续性图

则称函数 f(x)在 a 右连续 (左连续)。

结论:

① 函数在一点处连续的充要条件是既左连续又右连续 。

结论图

② 开区间内连续 :如果函数 f(x)在某一开区间 (a,b)内每一点处都连续,就说函数f(x)在开区间(a,b)内连续,

或说f(x)是开区间(a,b)内的连续函数。

③ 闭区间上连续:如果函数 f(x)在开区 间 (a,b)内连续,在左端点 x = a 处右连续,在右端点 x = b 处左连续,

就说函 数 f(x)在闭区间 [a , b ] 上连续。

二、闭区间上连续函数的性质:

闭区间连续函数的性质图

性质1、(有界性)若函数 f(x)在闭区间 [ a , b ] 连续,则函数 f(x)在闭区间 [ a , b ] 有界,即 存在 M > 0 ,

对任意的 x ∈ [ a , b ] , 有 ∣f(x)∣ ≤ M 。

注:在半开区间 ( 0 , 1 ] ,连续函数 f(x)= 1/x 无界 。

性质2、(最值性)若函数 f(x)在闭区间 [ a , b ] 连续,则函数 f(x)在闭区间 [ a , b ] 能取到最小值 m 与最大值 M ,

即 存在 x1 , x2 ∈ [ a , b ] , 使 f(x1)= M , f(x2)= m ,

且 对任意的 x ∈ [ a , b ] , 有 m ≤ f(x)≤ M 。

性质3、(零点定理)若函数 f(x)在闭区间 [ a , b ] 连续,且 f(a)f(b)< 0 ,(即 f(a)与 f(b)异号),

则在区间 (a , b)至少 存在一点 c , 使 f(c)= 0 。

性质4、连续函数的运算性质同极限的运算性质(略)。

例题3、证明:方程 x = cosx 在 (0 ,π/2)内至少存在一个实根 。

证明 令 f(x)= x - cosx , 则函数 f(x)= x - cosx 在 [0 ,π/2 ] 连续,并且 f(0)= -1 < 0 ,

f(π/2)= π/2 > 0 . 根据零点定理 ,函数 f(x)= x - cosx 在 (0 ,π/2)内至少存在一点 c ,使

f(c)= c - cosc = 0 , 即 方程 x = cosx 在 (0 ,π/2)内至少存在一个实根 。

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