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调和级数为什么是发散的(调和级数发散可以直接用吗)

在生活中,很多人可能想了解和弄清楚调和级数为什么发散?李永乐老师课堂延伸的相关问题?那么关于调和级数为什么是发散的?的答案我来给大家详细解答下。

调和级数为什么是发散的?(调和级数发散可以直接用吗)

我们的李永乐老师最近在文章中提到调和级数,并从此讲到了黎曼猜想,厉害了。我们这里仅仅具体聊聊调和级数为什么发散。

历史上是谁最先证明调和级数是发散的呢?

文艺复兴时代有位意大利数学家,名字叫蒙勾里(Pietro Mengoli, 1625-1686),是博洛尼亚的神职人员。博洛尼亚这个地方出数学家不奇怪,貌似博洛尼亚有世界上最古老的大学。

蒙勾里证明调和级数收敛仅仅依赖于下面的简单不等式, 对所有的x>1,有

这就有矛盾。故调和级数不是收敛的。

中世纪黑暗时期法国学者奥穆雷(Nicole d'Oreme,约1323-1382)也给出过一个证明。

奥穆雷的方法则是逐次每2^n个项进行合并、估计。具体来说,他注意到

奥莱姆的这个证明也是现在教科书中通用的方法。

现在,利用简单的微积分知识,也很快能证明。

方法是积分判别法。因

调和级数发散实际上是一件令人吃惊,违反直观的事情。网上有位名叫“三江方士”的网友说:

“我断断续续算了20年,即便没有得到答案,但我确信这个和值是有限的,而且很可能不会大于400。我苦于自己不是数学专业没有快捷方法和先进机器,所以希望业界有心人士能来试一试,我相信这个课题比哥德巴赫猜想更有意义。”

我们上面注意到只要把调和级数的项增加任意一个阶

则前n项之和S_n超过400。这等价于要求n>exp(400)这是一个巨大的数字。即使穷其一生,三江方士也计算不到这一项。也不能如三江方士所说,归咎于没有高明的计算机和计算技术,即便利用最好的计算资源,要逐项加也是不可能完成的任务。

调和级数的发散性的证明是数学史上的大事情。就如所有数学知识一样,如果要从头开始,其实都不是简单的事情。

温馨提示:通过以上关于调和级数为什么发散?李永乐老师课堂延伸内容介绍后,相信大家有新的了解,更希望可以对你有所帮助。