中考几何题目经典的辅助线手法(初中几何辅助线大全及口诀)

导语：中考几何进阶 辅助线法则（20）几何最值：费马点模型原理

中考几何进阶 辅助线法则（20）几何最值：费马点模型原理

基本问题

求△ABC内一点F，使得AF＋BF＋CF值最小。

这是一个动点连接三个定点的最小值问题，称为“星形耦合”。

〖分析〗

几何最值的两个基本原理，一个是“两点之间直线段最短”，再一个是“点到直线垂线段最短”。

用这些原理解决本问题，首要在于将“星形耦合”解耦。办法是将线段进行转移。

转移线段的技术手段，通常无非是平移、旋转、全等、等腰（等边）三角形、乃至等腰梯形、长方形对角线，等等。

不妨选择将△AFC绕点C顺时针旋转α角，至△AF´C的位置。显然△AFC≌△AF´C，☞ A´F´＝AF，也就是通过全等将AF转移至A´F´；

由于AC是定线段，旋转α角后得到的A´C也是定线段，进而A´是定点。

旋转后，对应线段夹角均为α：∠ACA´＝α；∠FCF´＝α；线段AF和A´F´（延长线）夹角也是α。

连接AA´，连接FF´，当选择α＝60°时，△ACA´是等边三角形；△FCF´也是等边三角形：FF´＝CF。这样：

☞ AF＋BF＋CF＝A´F´＋BF＋FF´。

利用旋转、构造全等三角形、以及等边三角形，一下子实现了诸线段“去耦合”，而且形成首尾衔接的折线段。易见：

AF＋BF＋CF＝A´F´＋BF＋FF´≥BA´

仅当F（因而F´，可以证明）落在BA´上，AF＋BF＋CF取得最小值BA´。

此时，不难发现：

∠CFA＝∠A´FC＋∠AFA´＝120°；

∠AFB＝180°－∠AFA´＝120°；

∠BFC＝180°－∠AFA´＝120°。

AF∥CF´。

AFCA´四点共圆。

这个对三角形三边所张角均为120°的特殊点F，就叫做费马点。

如何作图确定费马点：

1）以AC为底作正三角形△ACA´，连接B´A与△ACA´外接圆的交点F，即为费马点。

或者

2）以△ABC三边为底，各自向外作正三角形。如图，易证AD、BE、CG相交于一点F，该点即为费马点。

如果三角形有一内角大于等于120°，则钝角的顶点为该三角形的费马点。知道有这么回事就行了。证明简单但繁琐。

至于选择绕哪个点旋转60°，以及是顺时针还是逆时针旋转，在这里是相对的。例如，1）△AFC绕点A逆时针旋转60°，使得线段AC旋转至AE的位置；2）△BFC绕C点顺时针旋转60°，使得BC旋转至CD的位置；等等均可。

费马点最值问题基本模型

在寻求费马点的时候，我们进行了两个基本变换：1）旋转60°；2）构造全等三角形。

如果我们释放旋转60°角的约束为旋转α角，或者释放“全等”的约束为“相似”，或者二者兼而有之，又会如何呢？下面分别进行探讨。

1）旋转α＝2θ角，构造全等三角形

此时，要求0＜θ＜90°，且有

A´F´＋BF＋FF´

＝AF＋BF＋2sinθCF≥BA´；

当F（因而F´，可以证明）落在BA´连线上，取得最小值BA´。

释放旋转角度，可以解决AF＋BF＋2sinθCF类最小值问题。

对应特殊的角，有

θ＝30°：AF＋BF＋CF；

θ＝45°：AF＋BF＋√2CF；

θ＝60°：AF＋BF＋√3CF

记得此时旋转所围绕的点，必定是系数不为1的线段的定点。而且所能解决的问题局限在0＜2sinθ＜2。

2）旋转α＝2θ角，构造相似三角形

设相似比为k，即A´F´＝k·AF。F´C＝k·FC，在△FCF´中，易知FF´＝λ·CF，其中

因而

A´F´＋BF＋FF´

＝k·AF＋BF＋λ·CF≥BA´；

当F（因而F´，可以证明）落在BA´连线上，取得最小值BA´。

旋转和相似变换可以解决如k·AF＋BF＋λ·CF的最小值问题，但是系数之间存在着上面所提到的制约关系。

最常见的是α＝90°：最小值问题为

更一般的形式是（α＝90°）：

此时的相似比则为：k＝m/n。选择系数最大的线段的定点作为旋转固定点。

经典题例

题1 P为△ABC内一点，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，求PA＋PB＋PC的最小值。

〖分析〗

△CPB绕B点顺时针旋转60°至△C´P´B，连接PP´、AC´。则

AP＋BP＋CP＝AP＋PP´＋C´P´≥AC´

当P、P´落在线段AC´上时取得最小值AC´。

最终落在解锐角15°Rt△C´BD和Rt△AC´D上，结果

min(AP＋BP＋CP)＝AC´＝√6＋√2。

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题2 P是Rt△ABC内一点，∠ACB＝90°，AB＝2，AC＝1，求

（1）PA＋√2PB＋PC的最小值。

（2）PA＋√3PB＋PC的最小值。

（1）PA＋√2PB＋PC的最小值。

〖分析〗

系数不为1的线段的定点为B，2sinθ＝√2，θ＝45°，α＝2θ＝90°；

△APB绕B点顺时针旋转90°至△A´P´B，连接PP´、AA´。则

AP＋√2BP＋CP

＝A´P´＋PP´＋CP≥CA´

当P、P´落在线段A´C上时取得最小值CA´：

过A´作A´D⊥CB延长线于D，由三垂直模型易知，△ACB≌△BDA´。

解Rt△A´DC，得

（2）PA＋√3PB＋PC的最小值。

〖分析〗

和（1）完全雷同，易知α＝120°：

AP＋√3BP＋CP

＝A´P´＋PP´＋CP≥CA´

易知△A´BD≌△ABC。解Rt△A´DC得CA´＝√13。

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题3 P是直角等腰△ABC内一点，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2。

求√3PA＋PB＋2PC最小值。

〖分析〗

选择系数最大的线段的定点C为旋转固定点。相似比k＝√3∶1。因为(√3)^2＋1^2＝2^2，所以旋转角度α＝90°。

寻求线段A´P´＝√3AP，所以将△APC放大√3倍，再绕C顺时针旋转90°，得△A´P´C，即△A´P´C∽△APC，相似比k＝√3；连接PP´，则PP´＝2PC，

连接BA´，则√3PA＋PB＋2PC≥BA´，仅当P、P´落在BA´上，取得最小值BA´。

作AD⊥BC延长线于D，则△ACD为等腰直角三角形；解Rt△ABD，得：

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题4 P是△ABC内一点，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，求4PA＋3PB＋5PC的最小值。

〖分析〗

因为4^2＋3^2＝5^2；所以旋转角度α＝90°；选择系数最大的线段的定点C为旋转固定点；相似比k＝4∶3。

P´A´＝4PA/3；PP´＝5PC/3；

A´P´＋PP´＋PB＝(4PA＋3PB＋5PC)/3

即

4PA＋3PB＋5PC＝3(A´P´＋PP´＋PB)

而

A´P´＋PP´＋PB≥BA´；

仅当P、P´落在线段BA´上，取得最小值BA´。

解Rt△ABD得

所以min(4PA＋3PB＋5PC)＝2√65。

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