芝诺悖论运动场(芝诺悖论乌龟错在哪里)

导语：芝诺悖论 Zeno's paradox

阿基里斯追赶乌龟

乌龟在阿基里斯前方1000m处，假设阿基里斯的速度为10m/s，乌龟的速度是1m/s。

阿基里斯追乌龟跑1000米用100s，此时乌龟又跑了100米

阿基里斯继续追乌龟跑10s，此时乌龟又跑了10米

阿基里斯继续追乌龟跑1s，此时乌龟又跑了1米

阿基里斯继续追乌龟跑0.1s，此时乌龟又跑了0.1米

阿基里斯继续追乌龟跑0.01s，此时乌龟又跑了0.01米

额，， 阿基里斯永远追不上乌龟，

哪里出了问题？

现在，这看起来很简单，但上述问题的答案是，你永远不会到达那扇门。更重要的是，即使你尝试了无限次(无限不是一个数字，但为了论证)，你仍然无法到达那扇门。这个问题的简单答案是，每移动一次，你确实离门更近了，但你接下来的步骤只会走前一步距离的一半。你因此采取的步骤永远不会真正缩小差距。除了步骤法之外，还有一种简洁的客厅逻辑可以在这里应用。说到时间，在有限的时间内无法完成无数的事情，所以这个人不能离开房间。

芝诺的论点，粗略地看，可能看起来很愚蠢，但这个论点(和其他三个)一起批评了一些关于空间、时间和运动的最受尊敬和古老的观点。然而，除了哲学的立场，我们还将考虑数学的含义。芝诺注意到的是，一个给定的距离似乎等于所有这些部分的总和。在现代，芝诺偶然发现了所谓的极限，从18世纪开始，它成为物理学和数学的基本工具。

无限让人烦恼，而且不仅仅是从哲学的角度。事实上，你可以无缝地将一些无限的东西加起来，并最终得到完全可量化的东西，这从一开始似乎有点不靠谱。基本上，如果1加起来是无穷大，那就失败了，因为我们无法完成任务。然而，另一个受人尊敬的哲学家来拯救这种情况，不是别人，正是亚里士多德。亚里士多德接着说，并不是所有的无限都是一样的。有些是真正的无限，而另一些仅仅是潜在的无限，它可以持续到你喜欢的任何时间，没有任何明确的终点。最简单的类比就是数数。一个人可以想数多少就数多少，但一旦他觉得自己已经数到了可能数到的最大值，你就可以在上面加一个1，让它变得更大。这使得计数成为一个潜在的无穷大。芝诺的悖论和数数类似。

当物理学开始使用新的数学概念(如微积分)时，这就成了一个主要的问题。这些方法似乎提供了实际的可行性，但它们依赖的是当时科学家无法证明的无限小的距离。如果牛顿最伟大的数学天才和芝诺的悖论一样荒谬呢?因此，许多聪明的人都加入了这一潮流，试图弄清这些潜在的无限问题的真相。这就是极限的概念诞生的地方。

深度理解

在我们理解极限和完全解开芝诺的二分法之前，我们必须理解两个标准的符号，这两个符号都是芝诺自己无法理解的，因为他的古老的知识基础。第一个是锯齿状的E，也就是通常所说的∑(∑)。这是希腊语中sigma的大写字母。第二种符号是术语lim本身。Sigma是希腊字母，相当于英语中的S。这里，S代表和。虽然“和”这个术语在数学中很常见，但在这里它指的是“数起来”。

下面是一个小方程，i=1，上面是n。这些主要的线索给我们提供了关于这个方程的重要参数。想象一下，在这个例子中，是一座有n层楼的建筑。我们从一层进去，也就是i=1开始爬楼梯。每次我们到达一个新的着陆点，我们把i加1然后求出符号后面的值。我们记录下这个结果，然后去下一层。当我们到达顶端&39;时，我们将到目前为止所积累的所有值相加，并以此作为最终结果。现在，如果我们把这个应用到芝诺二分法中，假设这个人走了十步，那么这个人离门的距离是这么近:

方程1

让我们花点时间来理解这个和的意义。首先，它是距离的一半，然后是原来的四分之一，然后是八分之一，逐渐变小。把所有这些加起来，我们会得到一个数字，这个数字告诉我们，我们已经很接近那扇门了，但还没到那一步。然而，如果你仔细观察，这里有一个很好的陷阱。我们把限制设定为十个步骤，不像芝诺最初的悖论。他说无论我们带走多少人，我们都会越来越近，但永远无法到达出口。这就是“极限”一词的由来。

方程2

看看上面的等式。n越大，1/n就越小。当n很大时，它非常接近于0。

更重要的是，如果你给出任何“误差范围”，不管它有多小，你总能找到n的值，让1/n比你的误差范围更接近于0。从这一点开始，随着n的增加，1/n总是停留在误差范围内。有句名言，n趋于无穷，1/n趋于0。总之，我们可以说，以越来越小的步骤无穷大地接近一个极限，听起来像是哲学上的文字游戏，但它是作为有史以来最有用的数学发明之一的微积分的核心。

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