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实数有理数的概念(po7专业版和中文版区别)

在生活中,很多人可能想了解和弄清楚实数理论的建立——有理数的新定义的相关问题?那么关于实数有理数的概念的答案我来给大家详细解答下。

实数有理数的概念(pro7专业版和中文版区别)

前面,我们在《无理数的认识》那一讲中曾经谈到,人们知道无理数已经有很长的历史了,可是要清晰地表达无理数却是相当困难的。事实上,要能够清晰地表达无理数,首先要变换有理数的表达方式。我们曾经称可以表示为m/n的数为有理数,其中m,n∈Z,n≠0。当然,在这个基础上是可以定义无理数的,比如,称不能表示为分数形式的数为无理数,但是这个定义实在是很难判断,特别是与数轴之间很难建立起对于关系。因此,我们首先建立能与数轴对应的有理数的定义,这就需要用小数来定义有理数。那么,分数与小数之间有什么关系呢?一个(0,1)上的小数可以一般地表示为

A=0.a1a2...ap (1)

或者

B=0.a1a2...ap... (2)

两种形式,其中a1,a2,...,ap是取值0或者1到9的自然数。我们称A为有限小数,B为无限小数。可以发现,有的分数可以化为有限小数,有的分数虽然不能化为有限小数,但是去能化为循环的无限小数,比如,

1/2=0.5

1/3=0.333...

1/6=0.1666...

1/7=0.142857142857...

等等。这个表达是不是具有一般性呢?也就是说,是否“所有的分数都可以化为有限小数或无限循环小数”呢?答案是肯定的,我们来证明这个结论。

考虑分数m/n,不失一般性,我们假定m<n。如果这个分数能够化为有限小数,那么,结论成立。如果不能化为有限小数,用m除以n必有余数,并且这个余数只能取1和n-1之间的整数。由除法的运算法则,有余数后的除法都是加0填位,因为运算规律是一样的,因此,最多n次运算后,某个余数必然还要出现第二次,并且以后都是以周期形式出现,这就形成了循环小数。于是我们证明了:所有的分数都可以化为有限小数或者无限循环小数。

那么,现在是否就可以用“有限和无限循环小数”来定义有理数呢?为时过早,如果要对一个已有的定义构造一个新的定义,那么,这个新的定义的前提与结论必须是充分必要的,因为只有这样才能保持定义的等价性,为此,我们还需要证明“有限小数或者无限循环小数都能化为分数”。由(1)式,一个有限小数可以写为

A=a1/10+a2/102+...+ap/10p

这显然可以对应于一个分数。一个无限循环小数可以分为两部分,一部分是前面有限个(可以是0个)不循环项,然后是无限个循环项,不失一般性,我们假定无限循环小数是由循环项构成的,这样,(2)式可以写为

B=0.a1a2...ap a1a2...ap a1a2...ap...

=a1(1/10+1/10q+1+1/102q+1+...)+...+aq(1/10q+1/102q+...)

=C(1+1/10q+1/102q+...)

其中,C=0.a1a2...ap,括号中是一个等比级数,公比是1/10q,其中q≧1。用sn表示前n项部分和,即

sn=1+1/10q+1/102q+...+1/10nq

=[1-1/10q(n+1)]/(1-1/10q)

因为1/10q<1,容易验证当n→∞时sn→1/1-1/10q,因此

B=0.a1a2...ap/1-1/10q

这显然是一个分数,因而是一个有理数。

现在,我们可以给出有理数的基于小数的定义了:“有理数是有限小数或者无限循环小数”。进而可以得到无理数的定义:“无理数是无限非循环小数”。在这个基础上,可以得到实数的定义:“有理数和无理数统称为实数”。我们用R表示实数的全体所构成的集合。我们终于把实数刻画清楚了,并且还知道实数是与数轴上的点对应的。

我们还需要通过建立实数的运算来检验这种实数的定义是否合适。显然,这个运算是以有理数的四则运算为基础的,而重点是解决无理数的运算。以√2与√3的运算为例,下面是利用计算器计算的结果。由√2=1.4142135...和√3=1.7320508...,可以得到

√2+√3=1.4142135...+1.7320508...

=3.1462643...

√2•√3=(1.4142135...)•(1.7320508...)

=2.4494896...

因此,利用“无限非循环小数”定义无理数进行四则运算是可行的。事实上,在计算机中就是这样进行运算的。

但是,我们应当如何证明√2•√3=√6呢?当然可以计算出√6=2.4494896...,虽然这个结果与上面的计算结果很接近,但是这样依赖验证的方法来证明无穷的情况是不合适的,并且得不到一般性的结果,即无法证明对于所有的正实数a和b均有√a•√b=√a•b。所有,用无限非循环小数定义无理数是直观的,对于运算也是可行的,但对于给出证明,特别是给出一般性的结果是不方便的。

为了解决上面的问题,从魏尔斯特拉斯开始,以后有许多数学家,包括德国数学家戴德金,康托,在1872年左右几乎同时发表文章,建立他们的实数理论。接下来,我们一起来了解一下两个主要的方法,他们是“基本序列方法”和“戴德金分割方法”。

温馨提示:通过以上关于实数理论的建立——有理数的新定义内容介绍后,相信大家有新的了解,更希望可以对你有所帮助。