数学的推理和命题是什么(数学的推理和命题有哪些)
导语:数学的推理和命题
什么是数学的推理?
数学推理或数学推理的原理是数学的一部分,我们确定给定语句的真值。这些推理陈述在大多数考试中很常见。这篇文章谈一谈什么是数学推理,知道如何简单地解决问题。
数学可接受的陈述
考虑一下下面的陈述:
&34;
由于两个质数的和既可以是偶数也可以是奇数,所以给定的命题可以是真,也可以是假。这样的陈述在数学上是不可接受的,因为这个句子是含糊不清的。因此,一个句子只有在“要么是对的,要么是错的,但不能同时是对的”的情况下才能在数学上被接受。因此,数学推理所需要的基本实质是陈述。
数学推理的种类
在数学方面,推理可以分为两种主要类型:
1. 归纳推理
2. 演绎推理
其他类型的推理是直觉,反事实思维,批判性思维,逆向归纳和溯因归纳。这是用于做决定的7种推理。但是,在数学中,归纳和演绎推理是常用的,下文将对此进行讨论。
注:归纳推理是非严格的逻辑推理,陈述是广义的。另一方面,演绎推理是严格的逻辑推理,如果进入演绎的假设是真实的,陈述被认为是真实的。因此,在数学中,演绎推理被认为比归纳推理更重要。
归纳推理
在数学推理的归纳方法中,用一定的规则来检验陈述的有效性,然后将其推广。数学归纳法的原理使用了归纳推理的概念。
由于归纳推理是一般化的,所以在几何证明中不考虑它。这里有一个例子,它将有助于更好地理解数学中的归纳推理。
归纳推理的例子:
陈述:原材料成本是10元,生产该产品的劳动力成本是5元。这件商品的销售价格是50元。
推理:从上面的陈述,可以说,商店出售该商品将提供一个很好的利润。
演绎推理
演绎推理的原则与归纳法的原则相反。与归纳推理不同,在演绎推理中,我们将一般情况的规则应用于一个给定的命题,并使它对特定的命题成立。下面给出的例子将有助于更好地理解数学中演绎推理的概念。
演绎推理的例子:
表述:勾股定理对任何直角三角形都成立。
推理:如果三角形XYZ是直角三角形,它将遵循勾股定理。
推理语句的类型
主要有三种类型的推理语句:
•简单语句
•复合语句
•如果- 那么语句
简单语句
简单语句是那些直接且不包含任何修饰符的语句。这些陈述更容易解决,不需要太多的推理。一个简单语句的例子是:
太阳从东方升起
在这句话中没有修饰语,因此可以简单地总结为真。
复合语句
在某些连接词的帮助下,我们可以得到不同的陈述。由两个或两个以上的命题组成的命题称为复合命题。这些连接词可以是&34;, &34;等等。
有了这样的表述,数学推导的概念就可以很容易地实现。为了更好地理解,考虑以下示例:
表述一:偶数能被2整除
表述二:2也是偶数
这两个陈述可以组合在一起:
复合命题:偶数能被2整除,而2也是偶数
现在让我们从给定的复合语句中找出下列语句:
复合陈述:一个三角形有三条边并且内角和是180°。
这个语句的表述是:
表述一:三角形有三条边。
表述二:三角形内角之和为180°。
这两个关于三角形的表述在数学上都是正确的。这两个语句用“并且”连接起来。
如果 – 那么语句
根据数学推理,如果我们遇到一个如果-那么命题,即,如果 a 那么 b,那么通过证明a为真,则b为真,反过来如果证明b为假,那么a也为假。
如果我们遇到一个命题说‘a当且仅当b’,那么我们可以给出这样一个命题的理由,证明如果a为真,那么b也为真,如果b为真,那么a也为真。这说明a是b的充分必要条件,反之亦然。
例子:
a: 64是8的倍数
b: 8是64的因数
由于给定的一个命题,即a为真,因此a或b为真。
如何推导数学命题?
在推导新的报表或从给定报表作出重要的推论时,一般采用三种方法:
1. 对给定语句的否定
2. 矛盾的方法(反证法)
3. 反例的举证
让我们逐一看看这三种方法。
对给定语句的否定
在该方法中,我们通过拒绝给定的语句,从旧语句中生成新的语句。换句话说,我们否认给定的陈述,并将其表示为一个新的陈述。考虑下面的例子以更好地理解它。
表述一:两个自然数的平方和为正
现在如果我们否定这个命题,
表述二:两个自然数的平方和不为正。
在这里,通过使用“不”,我们否定了给定的命题,下面的内容可以从命题的否定性中推断出来:
有两个数,它们的平方加起来不是正数。
这是一个“错误”的陈述,因为两个自然数的平方是正的。
从上面的讨论,我们得出结论,如果(1)是一个数学上可接受的命题,那么命题1的否定命题(由命题2表示)也是一个命题。
反正法在这种方法中,我们假设给定的陈述(结论)是错误的,然后试图证明这个假设(前提)是错误的。
例如:
命题a: 是无理数。
假设上述命题错误,即是有理数,那么根据有理数定义,它可以表示出两个互为质数的商,即, 其中m,n没有公因数,
所以2=m2/n2, , 即m2=2n2, 由此等式可知m2是个偶数, 那么m也是个偶数,这样可令m=2p, 带回m2=2n2, 可得n2=2p, 同理可知n是偶数,那么令n=2q, 这样m和n都有因数2,这是与已给m,n互质,没有公因数矛盾的, 所以2的平方根是无理数。
因此,我们的假设是错误的,命题a是一个有效命题。反例证明
另一种证明有效性的方法是使用反命题,即给出一个命题或一个给定命题无效的例子。
例子:
a:如果x是质数,那么x总是奇数。
为了证明给定的语句是假的,我们将试图找到一个反例。我们知道2是质数,也就是说它只能被自身和1整除。而且,2是最小的偶数。因此,我们可以说2是偶数的质数。因此,我们可以说命题“a”不是对所有质数都成立,因此,给定命题是无效的。
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