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平行四边形对角线平分是什么意思(平行四边形对角线平分对角吗)

导语:平行四边形,对角线 角平分线 5个结论 一个不能少 解读H36题

H36.如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AE平分∠BAD,分别交BC,BD于点E,P,连接OE,∠ADC=60°,AB=1,BC=2,则下列结论正确的是( ).

(1)∠CAD=30°;

(2)BD=√7;

(3)平行四边形ABCD的面积=AB•AC;

(4)OE=1/4AD;

(5)△APO的面积=√3/12.

解读:

1.判断△ABE是等边三角形,可得EA=AB=BE=EC=1,等腰△EAC顶角120°,底角30°,平行推出∠CAD=∠ACB=30°;

2.判断Rt△COD,含30°角,斜边CD=1,求得OD=√7/2,BD=2OD=√7;

3.判断∠BAC=90°,平行四边形面积=2△BAC的面积=2×1/2 AB•AC= AB•AC;

4.判断OE是中位线,OE=1/2AB,AB=1/2AD,OE=1/4AD;

5.分以下4步求△APO的面积:

第一步:△AOE与△EOC面积相等=√3/8;

第二步:△POE与△AOP等高推出其面积比=PE:AP;

第三步:由OE//AB推出PE:AP=OE:AB=1:2;

第四步:△AOP的面积=2/3△AOE的面积=2/3×√3/8=√3/12。

由此得出:本题5个结论都正确!

解答:

①∵AE平分∠BAD,

∴∠BAE=∠DAE,

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AD∥BC,∠ABC=∠ADC=60°,

∴∠DAE=∠BEA,

∴∠BAE=∠BEA,

∴AB=BE=1,

∴△ABE是等边三角形,

∴AE=BE=1,

∵BC=2,∴EC=1,

∴AE=EC,

∴∠EAC=∠ACE,

∵∠AEB=∠EAC+∠ACE=60°,

∴∠ACE=30°,

∵AD∥BC,

∴∠CAD=∠ACE=30°,

故①正确;

②∵BE=EC,OA=OC,

∴OE=1/2AB=1/2,OE∥AB,

∴∠EOC=∠BAC=60°+30°=90°,

且∠OCE=30°

∴Rt△EOC中,OC=√3/2EC=√3/2

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴∠BCD=∠BAD=120°,

∴∠ACB=∠CAD=30°,

∴∠ACD=90°,

Rt△OCD中,由勾股定理得,

OD=√(3/4+1)=√7/2,

∴BD=2OD=√7

故②正确;

③由②知:∠BAC=90°,

∴S▱ABCD=2S△ABC=AB•AC,

故③正确;

④由②知:OE是△ABC的中位线,

∴OE=1/2AB,

∵AB=1/2BC

∴OE=1/4BC=1/4AD,

故④正确;

⑤∵四边形ABCD是平行四边形,

∴OA=OC=√3/2,

∴S△AOE=S△EOC=1/2OE•OC=√3/8,

∵OE∥AB,

∴EP:AP=OE:AB=1/2,

S△POE:S △POA=EP:AP=1/2,

∴S△AOP=2/3S△AOE

=2/3•√3/8=√3/12

故⑤正确。

本题5个结论①②③④⑤都正确!

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