平行四边形对角线平分是什么意思(平行四边形对角线平分对角吗)
导语:平行四边形,对角线 角平分线 5个结论 一个不能少 解读H36题
H36.如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AE平分∠BAD,分别交BC,BD于点E,P,连接OE,∠ADC=60°,AB=1,BC=2,则下列结论正确的是( ).
(1)∠CAD=30°;
(2)BD=√7;
(3)平行四边形ABCD的面积=AB•AC;
(4)OE=1/4AD;
(5)△APO的面积=√3/12.
解读:1.判断△ABE是等边三角形,可得EA=AB=BE=EC=1,等腰△EAC顶角120°,底角30°,平行推出∠CAD=∠ACB=30°;
2.判断Rt△COD,含30°角,斜边CD=1,求得OD=√7/2,BD=2OD=√7;
3.判断∠BAC=90°,平行四边形面积=2△BAC的面积=2×1/2 AB•AC= AB•AC;
4.判断OE是中位线,OE=1/2AB,AB=1/2AD,OE=1/4AD;
5.分以下4步求△APO的面积:
第一步:△AOE与△EOC面积相等=√3/8;
第二步:△POE与△AOP等高推出其面积比=PE:AP;
第三步:由OE//AB推出PE:AP=OE:AB=1:2;
第四步:△AOP的面积=2/3△AOE的面积=2/3×√3/8=√3/12。
由此得出:本题5个结论都正确!
解答:①∵AE平分∠BAD,
∴∠BAE=∠DAE,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,∠ABC=∠ADC=60°,
∴∠DAE=∠BEA,
∴∠BAE=∠BEA,
∴AB=BE=1,
∴△ABE是等边三角形,
∴AE=BE=1,
∵BC=2,∴EC=1,
∴AE=EC,
∴∠EAC=∠ACE,
∵∠AEB=∠EAC+∠ACE=60°,
∴∠ACE=30°,
∵AD∥BC,
∴∠CAD=∠ACE=30°,
故①正确;
②∵BE=EC,OA=OC,
∴OE=1/2AB=1/2,OE∥AB,
∴∠EOC=∠BAC=60°+30°=90°,
且∠OCE=30°
∴Rt△EOC中,OC=√3/2EC=√3/2
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠BCD=∠BAD=120°,
∴∠ACB=∠CAD=30°,
∴∠ACD=90°,
Rt△OCD中,由勾股定理得,
OD=√(3/4+1)=√7/2,
∴BD=2OD=√7
故②正确;
③由②知:∠BAC=90°,
∴S▱ABCD=2S△ABC=AB•AC,
故③正确;
④由②知:OE是△ABC的中位线,
∴OE=1/2AB,
∵AB=1/2BC
∴OE=1/4BC=1/4AD,
故④正确;
⑤∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC=√3/2,
∴S△AOE=S△EOC=1/2OE•OC=√3/8,
∵OE∥AB,
∴EP:AP=OE:AB=1/2,
S△POE:S △POA=EP:AP=1/2,
∴S△AOP=2/3S△AOE
=2/3•√3/8=√3/12
故⑤正确。
本题5个结论①②③④⑤都正确!
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