1990年高考数学试题(1990年高考数学试题及答案)

导语：1990年高考数学压轴题，难住不少考生，学霸看了也头疼

1990年高考数学试卷相比于1989年来说，多了3道选择题但是少了1道填空题，总体题量比1989年增加了2道。从难度上来说，虽然从整体上看1990年高考数学试卷难易结合，但是难度跨度大，整体偏难。

本文和大家分享一下1990年高考理工农医类数学试卷的压轴题，题目见下图。这道题难住了不少考生，现在不少学霸看到了也倍感头疼。接下来我们一起来看一下这道题的求解方法。

先看第一问。

这一问要求的是参数的取值范围。而在高中阶段，求参数的取值范围有一个非常重要的方法：参变分离。也就是将参数和变量分开，不等号的一边为参数，另一边为参数以外的其他项。

本题中，f(x)在x≤1上有意义，那么就可以转化成对数的真数部分在x≤1上恒大于零。又因为真数部分的分母是大于2的自然数，所以可以进一步简化为真数的分子大于零，即：1+2^x+...+(n-1)^x+n^x·a＞0。

接下来进行参变分离，得到：

a＞-(1/n)^x-(2/n)^x-...-[(n-1)/n]^x，从而只需要a大于后边这个函数的最大值即可，所以接下来只需要通过判断右边函数的单调性求出最大值。

不等号右边可以看成是几个指数函数的和，而每个指数函数的底数都小于1，所以很容易判断出右边函数为增函数。即当x=1时取得最大值，代入即可求得a的取值范围。

再看第二问。

2f(x)＜f(2x)，代入函数解析式后整理得到：[1+2^x+...+(n-1)^x+n^x·a]^2＜n[1+2^2x+...+(n-1)^2x+n^2x·a]，所以只需要证明这个不等式成立即可。

证明这个不等式成立有两种比较常用的方法。

方法一：放缩法

因为(a1+a2+...+an)^2≤n(a1^2+a2^2+...+an^2)，所以[1+2^x+...+(n-1)^x+n^x]^2＜n[1+2^2x+...+(n-1)^2x+n^2x]。

又因为0＜a＜1，所以：[1+2^x+...+(n-1)^x+n^x·a]^2＜n[1+2^2x+...+(n-1)^2x+n^2x·a^2]＜n[1+2^2x+...+(n-1)^2x+n^2x·a]。

方法二：数学归纳法

先通过计算证明当n=2时，结论成立。

接下来假设当n=k时结论也成立，然后再利用n=k时的结论来证明当n=k+1时，关系式依然成立即可得证。

在证明过程中，同样需要对部分计算过程进行放缩，这也是本题的难点所在。

整体来说，这道1990年高考数学压轴题的难度还是非常大的，如果是你，你会做吗？

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