四年级排列组合问题(小学四年级数学排列组合题)

导语：小学四年级数学思维拓展：排列组合之组合二

日常生活中有很多的“分组”问题。如把同学们分两组进行篮球对抗赛，从全班同学中选几人参加数学竞赛等等。这种“分组”问题，就是我们要讨论的组合问题。

组合问题与所取的元素有关，而与元素之间的先后顺序无关。一般地，从 n 个不同元素中，任取 m（m≤n）个不同的元素并组成一组，叫做从 n 个不同元素中每次取 m 个元素的组合，简称“m 元素组合”。求组合数按以下的方法：［n·（n - 1）·（n - 2）…（n - m +1）］÷［m·（m - 1）…3·2·1］。

事实上，加法原理、乘法原理、排列、组合等问题是相互联系、不可分割的。当我们综合运用时，一定要注意：

（1）区分清楚两个基本的原理；

（2）具体问题具体分析，判断清楚到底属于什么问题。

实例

2 有 9 面颜色不同的信号旗，任意取出三面旗从上到下挂在旗杆上表示信号，共可以表示多少种不同的信号？

思路解析

这里的九面不同颜色的小旗就是九个不同的元素，三面小旗表示一种信号，就是有三个位置。

由于信号不仅与旗子的颜色有关，而且与不同旗子所在的位置有关，所以是排列问题，

其中 n = 9，m = 3。所以，共有：9 × 8 × 7 = 504（种）。

答：共可以表示 504 种不同的信号。

拓展练习一

用 0、1、2、3、4、5、6、7、8 这 9 个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？

答案提示

1. 方法一

因为要组成没有重复数字的三位数，所以，每个这样的三位数就是从 0 到 8 这 9 个数字中每次取 3 个数字的一个排列。第一位不是 0 的三个数字的排列表示一个三位数，所以，要求三位数的个数就是用 0 到 8 这 9 个数字组成的首位不是 0 的三元排列的个数。

这样，我们可以分两步解决，先排百位上的数，再排十位与个位上的数。

百位上的数字只能从 1、2、3、4、5、6、7、8 这 8 个数字中任选一个数字，有 8 种方法；十位数字和个位数字可以从余下的 8 个数字中任选两个。根据乘法原理，所求的三位数的个数是： 8 × 8 × 7 = 448（个）。

2. 方法二

用从 0 到 8 这 9 个数字中任取三个数字的排列数，减去其中以 0 为排头的排列数，就是用这 9 个数组成的没有重复数字的三位数的个数。

从 0 到 8 这 9 个数字中任取三个数字的排列有：9 × 8 × 7 = 504（个）；以 0 为排头的排列有：8 × 7 = 56（个）。所以，所求三位数的个数是： 9 × 8 × 7 - 8 × 7 = 504 - 56 = 448（个）。

3. 方法三

我们可以把符合条件的数分成三类：

（1）不含零的三位数有：8 × 7 × 6 = 336（个）；

（2）十位数是 0 的三位数有：8 × 7 = 56（个）；

（3）个位数是 0 的三位数有：8 × 7 = 56（个）；

由加法原理可知符合条件的三位数的个数有：

8 × 7 × 6 + 8 × 7 + 8 × 7 = 336 + 56 + 56 = 448（个）。

答：用 0、1、2、3、4、5、6、7、8 这 9 个数字，可以组成 448 个没有重复数字的三位数。

拓展练习二

将实例改成：“有 9 面颜色不同的信号旗，任意取出一至三面旗从上到下挂在旗杆上表示信号，共可以表示多少种不同的信号？”

答案提示

我们可以把 9 面旗子看成 9 个元素，则所组成的信号可分别看作从 9 个不同元素中分别取出一个、两个、三个元素的排列数，因此把组成的信号分成三类：

（1）第一类：用一面旗子组成的信号有 9 种；

（2）第二类：用两面旗子组成的信号有 9 × 8 = 72 种；

（3）第三类：用三面旗子组成的信号有 9 × 8 × 7 = 504 种；

所以，一共组成的信号总数是： 9 + 9 × 8 + 9 × 8 × 7 = 9 + 72 + 504 = 585（种）。

答：共可以表示 585 种不同的信号。

拓展练习三

小明、小红等 7 个小朋友照相，分别求出在下列条件下有多少种排法。

（1）7 人站成一排；

（2）7 人排成一排，小明必须站在中间；

（3）7 人排成一排，小明、小红必须有一人站在中间；

（4）7 人排成一排，小明、小红必须站在两边；

（5）7 人排成两排，前排 3 人，后排 4 人；

（6）7 人排成两排，前排 3 人，后排 4 人，小明站在前排，小红站在后排。

答案提示

（1）这个问题中，

第 1 个位置有 7 种排法，第 2 个位置有 6 种排法，第 3、4、5、6、7 个位置，分别有 5、4、3、2、1 种排法，所以共有 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040（种）排法。

（2）小明站在中间，剩下的 6 个人可以随意排列，共有 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720（种）排法。

（3）在这个问题中：

小明站在中间，剩下的 6 人可以随意排列；小红站在中间，剩下的 6 人也可以随意排列，所以共有（6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1）× 2 = 1440（种）排法。

（4）小明、小红站在两边，共有 2 种排法，其余 5 人可以随意排列，

共有 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120（种）排法，根据乘法原理，共有 2 × 120 = 240 （种）排法。

（5）在这个问题中：

第一步排前排 3 人，从 7 人中选 3 人即可，共有 7 × 6 × 5 = 210 （种）排法；第二步，剩下的 4 人排在后排，共有 4 × 3 × 2 × 1 = 24（种）排法。根据乘法原理，共有 210 × 24 = 5040（种）排法。

（6）在这个问题中：

在除小明、小红外的 5 人中选 2 人站在前排，共有 5 × 4 = 20（种）排法；这 2 人与小明一起排在前排，共有 20 × 3 = 60（种）排法；剩下的 3 人与小红在后排可以随意排列，共有 4 × 3 × 2 × 1 = 24（种）排法，故符合要求的排法共有 60 × 24 = 1440（种）

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