与圆有关的比例线段(圆与线段比值问题)

导语：中考前考生们应该重点复习一下和圆有关的比例线段(讲义稿)

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​和圆有关的比例线段，主要是相交弦。同学们应该熟练的掌握相交弦定理、以及切钱定理，(切线定理在这我不再说了)并会应用它们进行有关的计算。因为离中考的时间不太多了，这个知识点老师在课堂上已经给我们进行了专门的复习，同学们也做了很多习题和模拟考题，所以在这里我就不系统的讲解了，只是想做为重点提示一下，仅供同学们参考。

1、相交弦定理

圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

大家准备好圆规和直尺，

请同学画图形⊙O，并画出⊙O内的两条相交弦AB与CD

(提示:图形由同学们自己画出来，1、画圆，2、画圆中的第一条弦，注意弦与圆相交的两个端点顺时针标注为A、B，第二条弦与圆相交的左端点为C，右端点为D)

已知、弦AB和CD相交于⊙O内一点P

求证:PAxPB=PCⅹPD、(注意、这是一个等积式，&34;为乘号)

证明:连结AC、BD由圆周角定理的推论可以得到

<A=<B，<C=<B，由此可以推出、三角形PAC相似于三角形PDB，由此推出、PA:PD=PC:PB，同学们注意，这是一个等比式(即:等商式)。再看这个等比式，根据比例的基本性质，就可以写出一个等积式。有的同学说，这只是一个等式变形，对的，可以这么说。

注意、上述证明推理的过程也就是证明相交弦的定理。这里边应该注意的地方有两点。

一、作辅助线的问题。我们连结的是AC和BD，这样辅助线就与原图形中的线段就构成了三角形APC和三角形BPD两个图形。(要确定好，你作的辅助线与原图形中的哪条线段构成了一个什么图形，这个图形给最后的解题能准备什么条件，这就是构图法)

二、考虑三角形APC和三角形BPD是否能满足相似定理，(这块要注意为什么要考虑相似形的性质定理？)同时还要考虑到这两个三角形相似的定理是否能为证明相交弦定理准备条件。

同学们再考虑一下，如果连结AD和BC，再进行推导，能够得出一个什么结论呢？大家可以试一试。

由相交弦定理我们又可以得出下面的一个推论。首先再强调一下，什么是推论？例如、在相交弦定理这个基础之上，再用语言的形式进行推理，又得到一个结论，这个结论就叫做推论。(我这么定义&34;对吗？)

推论、如果相交弦与直径垂直相交，那么弦的一半就是它分直径所成的两条线段的比例中项。(什么叫做比例中项？在比例中如果两个比例的内相相同，即、a:b=b:d，b就叫做a和d的比例中项)

同学们自己作图。1、画圆，2、画圆的弦AB，3、画垂直于弦AB的直径CD，相交于弦于点P。

因为AB是弦，CD是直径，CD丄AB，垂足是P，可以得到、PA的平方=PCxPD(x为乘号)

例如:已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分为12cm和16cm两段。第二条弦长32cm，求第二条弦被交点分成的两段的长

解:设第二条弦被交点分成的一段长为ⅹcm、则另一段长为32cm减去xcm，根据相交弦定理可以得到:ⅹ(32一ⅹ)=12ⅹ16

整理得:x的平方一32x十192=0

解得(1)、x=8，(2)、x=24

由此得到:另一弦交点分成两段长分别为、32一x(1)=24，或、32一ⅹ(2)=8

另一弦被交点分成的两段长分别为8cm、24cm

注意:在应用结论中有算式的定理进行求值计算中都可以借助于代数方法列方程求解。(我小孙子阐于用代数法列方程，解此类型的习题)

希望中考的同学们找出时间阅读一下我的这个讲义稿，如果发现有错误的地方请及时更正过来。这个讲义稿有的地方是我自己的观点，不一定正确。希望同学们在中考前，找出一点时间认真的阅读一遍这个讲义稿。这个讲义稿至少能够给同学们一个提示，祝同学们金榜提名。

(因为水平有限，加之手头资料也不多，如有错的地方请中考生们和编审官批评指正，以免误导学生)

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