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求极值的例子(高数简述求极值的方法并举例说明)

导语:求极值的方法终极总结,用思维导图分析三个充分条件的应用

求函数f(x)的极值点和极值,可以针对一点x=x0来分析。首先,我们要考虑,函数在x=x0是否可导。

1、如果x=x0是f(x)的不可导点,那么就要用极限的第一充分条件判断。函数在x0的某邻域U(x0)内,左增右减,x=x0就是f(x)的极大值点;反之,如果左减右增,x=x0就是f(x)的极小值点。否则,x=x0就不是f(x)的极值点。

(1)用定义判断,如果f(x0)比U(x0)上的任意函数值f(x)大,x=x0就是f(x)的极大值点;反之,如果f(x0)比U(x0)上的任意函数值f(x)小,x=x0就是f(x)的极小值点。

(2)用导数判断,如果在左邻域有f&39;(x)<0,x=x0就是极大值点;在左邻域有f&39;(x)>0,x=x0就是极小值点。

2、如果函数在x=x0可导,就求x0所在的可导区间上的导函数,并且解方程f&34;(x0)的符号性质来确定x=x0是什么极值点。

若f&34;(x0)>0,则x=x0是f(x)的极小值点;若f&34;(x0)<0, 则x=x0是f(x)的极大值点。

3、若f&34;(x0)=0, 就要运用第三充分条件来判断。对函数求高阶导数,直至f^(n)(x0)不等于0。

(1)此时,如果n是奇数,则x=x0不是f(x)的极值;

(2)如果n是偶数,那么当f^(n)(x0)<0时,x=x0是f(x)的极大值点,当f^(n)(x0)>0时,x=x0是f(x)的极小值点。

下面通过一道例题,来加深对这个知识的理解:

例:求f(x)=(x-1)^3(x+2)三次根号(x^2)的极值点.

解:f(x)在x=0不可导,f(0)=0,

当-2<x<0时, f(x)<0, 当0<x<1时, f(x)<0,

∴x=0是f(x)的极大值点.

f(x)=x^(14/3)-x^(11/3)-3x^(8/3)+5x^(5/3)-2x^(2/3),

f&39;(x)=0时, x=1, 或x=(-17+3根号57)/28, 或x=(-17-3根号57)/28,

f&34;(1)=0, f&34;((-17-3根号57)/28)>0, 【可以用近似数来检验,降低难度】

所以x=(-17+3根号57)/28和x=(-17-3根号57)/28都是f(x)的极小值点.

又f&39;(1)≠0, ∴x=1不是极值点. 【并不需要求导函数就可以判断,因为如果f&39;(1)=0,则f(x)有因式(x-1)^4或没有因式(x-1)^3】

综上, f(x)有极大值点x=0,以及极小值点:x=(-17+3根号57)/28和x=(-17-3根号57)/28.

函数的图像大致如上图.

现在您对求极值的方法,完全掌握了吧!

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