84可降价的二阶微分方程是什么(可降阶的二阶微分方程都有哪些特征)

导语：8.4 可降价的二阶微分方程

一、右端仅含x的二阶微分方程y&39;=∫f(x)dx+C

再积分一次，便得通解

y=∫[∫(x)dx]dx+C1x+C2

其中，C1，C2为任意常数。

例1：求微分方程y&39;=∫cosxdx=sinx+C1

再积分一次，得

y=∫（sinx+C1）dx=-cosx+C1x+C2

（C1、C2为任意常数）

二、右端不显含y的二阶微分方程y&39;)

其降价思路是作变量代换：y&34;=dP/dx

代入原方程得一阶微分方程

dP/dx=f(x,P)

若其通解为P=F（x，C），即dy/dx=F(x,C),解这个一阶方程，便得原方程的通解。

例2：求方程y&39;的通解

解 令y&34;=dP/dx,

代入原方程，得dP/dx=1/x ·P

分离变量，得dP/P=dx/x

两端积分，得p=C1x，即dy/dx=C1x

两端再积分，得 y=1/2 C1x^2+C2

（C1、C2为任意常数）

三、右端不显含x的二阶微分方程y&39;)

其降价思路也是看做代换：y&34;=dP/dx=dP/dy ·dy/dx=P dP/dy

代入原方程得如下相关于P的一阶微分方程

P·dP/dy=f(y,P)

若其通解为P=F（y，C），即dy/dx=F(y,C),解这个方程，便得原方程的通解。

例3：求微分方程yy&39;^2=0

解 令y&34;=dP/dy ·dy/dx=P·dP/dy

代入原方程，得y·P·dP/dy-P^2=0

当y≠0，P≠0时，分离变量，得dP/P=dy/y

两端积分，得P=C1y.即dy/dx=C1y

两端再积分，得y=C2e^C1x.

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