圆中的计算问题公式(273圆中的计算问题)

导语："说三例”圆中相关计算小问题与相应的小窍门

平面几何中，圆是即漂亮又有内涵的美丽图形，值得人们欣赏她研究她。她会给你智慧让你聪明、她有内在逻辑给你思维、她是知识海洋任你想象。现举三例圆中小问题，来说说其中小诀窍：

【例一】（如图）⊙O为△ABC的外接圆，且：AB=AC，连接BO并交AC于点D，若：AD=2，DC=3，求：BC的长和圆的半径

【简解】

（1）连接AO交BC于点E，已知△ABC为等腰，易证：AE⊥BC，EB=EC，即AE为BC的中垂线

（2）过点E作EF∥BD交AC于点F，则F为CD中点，∴DF=FC=3/2，由OD∥EF，∴AO/OE=4/3，设：AO=4a=OB，则：OE=3a，∴BE=EC=√7a

（3）在Rt△AEC中，AC²=√（EC²＋AE²），∴a=5√14/28，BC=2BE=2√7a=5√2/2

（4）由OA=4a=5√14/7，∴圆的半经为5√14/7

[亦可：由△OAD∽△ABD得：AD²=DO×DB，又有相交弦得：AD×DC=（r＋OD）×（r－OD）求出OD和半径r]

【例二】（如图）AB为⊙O直径，AB=√6，两弦AM与BN交于P，求：（AP×AM）＋（BP×BN）的值是多少？

【简解】

（1）连接AN、BM，则：∠N=90º，∠M=90º，过点P作PQ⊥AB，垂足Q，∠PQA=∠PQB=90º

（2）由A、N、P、Q共圆得BP×BN=BQ×AB，由B、M、P、Q共圆得AP×AM=AQ×AB（割线定理）

（3）上两式相加得（AP×AM）＋（BP×BN）=AB（BQ＋AQ）=AB²=6

[亦可由中线定理与相交弦定理：设求式为Z，圆半径为r，Z=AP²＋AP×PM＋BP²＋PB×PN=（AP²＋BP²）＋2AP×PM=2PO²＋2r²＋2（r＋OP）×（r－OP）=4r²=6]

【例三】（如图）己知点O为四边形BCDE外接圆圆心，延长BE、CD交于点A，且：∠A=30º，若：BC=4，DE=√3，求圆O的半径。

【简解】

（1）过点D作DF∥AB交⊙O于点F，连BF并延长，则：∠FDC=30º=∠FBC，BF=DE=√3

（2）过点C作CG⊥BF，垂足为G，连FC

（3）在Rt△BCG中，∠CBG=30º，∴CG=2，BG=2√3，FG=2√3－√3=√3，在Rt△CFG中，FC=√（CG²＋FG²）=√7

（4）在△CDF中（圆内接）设圆半径为R，则2R=FC/sin∠FDC=√7/sin30º=2√7，∴R=√7，即：圆的半径为√7[亦可：连接OF、OC，半径OF=OC，则：∠FOC=2∠FBC=60º，∴△FOC为正三角形，∴OF=OC=FC=√7，即圆半径为√7]

以上三例之分析，“道听度说”供参考。

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