层数学(数学中的几层什么意思)

导语：谈谈数学中的层：层化

话题：

小石头/编

我们已经知道，

只有 当 预层 同时 满足 单一性 和 粘合性 时，才被称为 层；

也就是说，并不是所有的预层都是层 。不过，虽然如此，但是我们却可以从任何预层构造一个层，这就是本篇要给大家介绍的内容——层化（sheafification）。

——§ 起 §——​

回忆 前文 的 例子 №1：

设 X 和 E 都是 拓扑空间，则 可以构造一个 层 Cᴱ，

将 X 中的任意开集 U 映射为 全体 U 到 E 的 连续映射，即， Cᴱ(U) = C(U, E)；将 X 中的 任意开集对 V ⊆ U 映射为限制映射 rᴜᴠ : Cᴱ(U) → Cᴱ(V), s ↦ s|ᴠ

（注：关于 Cᴱ 是层 很容易验证，大家不妨自己试一试。）

现在 让我们 对 №1 进行改造：

首先，引入 一个 从 E 到 X 的 连续映射 p: E → X，我们要求 p 局部同胚（local homeomorphism），即，

对于每一个 e ∈ E，都存在 开集 N ∋ e, U ∋ p(e) 使得 p|ɴ: N → U 同胚；

然后，通过 p 对于 每个 C(U, E) 中的映射 进行筛选，定义：

即，使得下图交换，

接着，仿照 №1，可构造一个新的 层 ΓE，如下：

ΓE(U) = Γ(U, E)；rᴜᴠ : ΓE(U) → ΓE(V), s ↦ s|ᴠ；

最后，可 验证 ΓE 的确是层，验证 过程与上面的 Cᴱ 类似，这里就不再累述了。

至此，就通过 E 和 p: E → X 构造了一个 X 上的 层，我们将 E 和 p 放在一起，称为 X 上的一个 层空间 （sheaf space），记为 (E, p)。

​——§ 承 §——​

疑问：看到这里的朋友，可能对于 层空间 定义 中 p 是 局部同胚的 条件 感到突兀。没关系，耐心 往后看 大家就会明白，为什么要引入 这个 条件了。

这里先抛开原因不说，我们需要知道的是，该条件的引入 可以使 ΓE 具有 很多良好的性质，下面来看一看：

首先，设 V 是 E 中的任意开集 ，对任意 x ∈ p(V) 取 e ∈ V, p(e) = x， 由于 p 是局部同胚，存在 开集 N ∋ e 使 p|ɴ 是同胚，并 将 e 在 N 中的开邻域 V ∩ N 映射为 x 在 p(V) 中的开邻域 p(V ∩ N)，于是 任意 x ∈ p(V) 都是 p(V) 的内点，进而 p(V) 是开集，这说明，p 是一个 开映射。

其次，设 U 是 X 中的任意开集，s ∈ ΓE(U)，对于任意 e ∈ s(U)，由于 p 是局部同胚，存在 开集 N ∋ e 使 p|ɴ 是同胚，于是 p|ɴ⁻¹ 将 开集 p(N) ∩ U 映射为 e 在 s(U) 中的开邻域 N ∩ s(U)， 所以 任意 e ∈ s(U) 都是 s(U)​ 的内点，进而 s(U) 是开集，故，s 也是 开映射。

再次，将 上面 全体 s(U) 这样的开集 记为 ℬ，对于 任意 e ∈ E，以及 e 的任意开邻域 W， 由于 p 是局部同胚，存在 开集 N ∋ e 使 p|ɴ 是同胚，于是 p|ɴ(N ∩ W) 是 开集，故 s(p|ɴ(N ∩ W)) ∈ ℬ，而且有，

p|ɴ(s(p|ɴ(N ∩ W))) = id(p|ɴ(N ∩ W)) = p|ɴ(N ∩ W) ⇒ s(p|ɴ(N ∩ W)) = N ∩ W

于是， e ∈ s(p|ɴ(N ∩ W)) ⊆ W，故 ℬ 是 E 的一个拓扑基。

最后，给定 x ∈ X，考虑 p⁻¹(x)。对于任意 s ∈ ΓE(U)open U ∋ x，由，

p(s(x)) = idᴜ(x) = x

有，

s(x) ∈ p⁻¹(p(s(x))) = p⁻¹(x)

故，对 每个开集 U ∋ x，可定义映射，

σᴜ: ΓE(U) → p⁻¹(x)，s ↦ s(x)

其对 前序关系 U ⊇ V ∋ x，有，

σᴠ(rᴜᴠ(s)) = rᴜᴠ(s)(x) = s|ᴠ(x) = s(x) = σᴜ(s)

即，

σᴠ ∘ rᴜᴠ = σᴜ

这说明，p⁻¹(x), (σᴜ)U ∋ x 是 （以 X 中全体包括 x 的开集为方向集的 ΓE 中正向系 的）一个目标，我们 断言 这个目标 就是 层 ΓE 在 x 处的茎，即，

为此，需要证明 该目标 是 一个 正向极限，证：有，

对于任意 e ∈ p⁻¹(x)，因为 p 局部同胚，故存在 e 的开领域 N 使得 p|ɴ : N → U 是同构，其中 U 是 X 中的开集，显然 p|ɴ⁻¹ ∈ Γ(U, E) = ΓE(U)，于是有 σᴜ(p|ɴ⁻¹) = p|ɴ⁻¹(x) = e，即，e ∈ Im(σᴜ)；对于 任意 s ∈ ΓE(U), t ∈ ΓE(V)，根据上面结论，知 W = s(U) ∩ t(V) 是 E 中开集，以及 p(W) ⊆ U, V 是 X 中开集，考虑到 x ∈ X 其实是任意的，于是有，σᴜ(s) = σᴠ(t) ⇒ s(x) = t(x) ⇒ s|p(W)(x) = t|p(W)(x) ⇒ rᴜ,p(W)(s) = rᴠ,p(W)(t) ∈ ΓE(p(W))

注：实际上 s|p(W) = p|ᴡ⁻¹ = t|p(W)

综上，根据正向极限判定定理，知 p⁻¹(x), (σᴜ)U ∋ x 是正向极限。▉

从上面的证明过程，还可以看出： p⁻¹(x) 是 E 的 离散子空间，因为：有 N ∩ p⁻¹(x) = {e} 是 p⁻¹(x) 的 开集。

​——§ 转 §——​

再回来，本篇的最终目的是从 X 上的 预层 F 构造一个 层，现在以及可以 从 层空间 构造 层 了，于是只需要 从 F 构造出 一个 层空间，就大功告成了！

首先，我们已经知道，对于任意 x ∈ X 都 可以构造出 一个 茎 F᙮， 于是 考虑 F 的全体 茎的 无交并，

这里自然存在一个映射，

也就是 p⁻¹(x) = F᙮ 。

然后，对于每个 X 的开集 U 以及每个 s ∈ F(U)，都可以定义映射，

若规定，

每个 sˆ(U) = {s᙮ ∈ F᙮ | x ∈ U} 都是开集；

我们则断言，所有 这些开集 组成 LF 的一个拓扑基，因为：

显然 这些开集 是 LF 的一个 覆盖；对于 每个 e ∈ sˆ(U) ∩ tˆ(V) , (s ∈ F(U), t ∈ F(V) ) ，有 s᙮=t᙮, x = p(e)，于是，根据 茎的性质，存在 x 的开邻域 W ⊆ U ∩ V 使得 rᴜᴡ(s) = rᴠᴡ(t)，进而，(rᴜᴡ(s))ˆ(W) = (rᴠᴡ(t))ˆ(W) 就是 e 在 sˆ(U) ∩ tˆ(V) 中的开邻域；

这样，这些开集 就满足了 拓扑基的定义。

于是，我们在 LF 中赋予 该拓扑基生成的拓扑， LF 就成为一个拓扑空间。

接着，由于，对于任意开集 U ⊆ X，有，

于是 f⁻¹(U) 是开集（开集的并是开集），进而 p是连续的。

最后，考虑 p 在 任意 开集 sˆ(U) 上的限制 p| sˆ(U)，其继承 p 的连续性，同时其逆为，

这其实就是 sˆ 将陪域限制为其值域的结果，故其逆是满射，又因为：

对于 任意 x ≠ y ∈ X，由于 LF 中 F᙮ 与 Fy 是无交的，所以 s᙮ ≠ sy（在 LF 中），因此 sˆ 是单射；对于任意 s᙮ ∈ sˆ(U), (x ∈ U) 的任意 开邻域 N， 总存在 拓扑基 V = sˆ(W) ∋ s᙮ 使得 V ⊆ N，而 sˆ⁻¹(V) = W （sˆ 是单射）是 x 的 开邻域，于是 sˆ 连续的；

所以 其逆是 连续的双射，于是 p| sˆ(U) 一个 同胚，即 p 是局部同胚。

至此，我就从 X 上的预层 F 构成出来 一个 X 上的 层空间 (LF, p)，进而，就可以再 从 (LF, p) 构造出 层 ΓLF 来了，我们称 整个过程为 预层 F 的层化（sheafification）。

还记得 前面那个 疑问 吗？ 实际上，层空间 是层化过程中的中间产物，在层化过程中 p 自然就是 局部同胚的，因此 这个条件 自然就被引入了 层空间的 定义。

​——§ 合 §——​

总结，设 F 是 拓扑空间 X 上的 预层，则 通过 以上 两个步骤，即：

第一步：先由 F 构造一个与 X 有关联的 拓扑空间 LF，这里的关联是指，存在 一个 从 LF 到 X 的 局部同胚的 连续映射 p: LF → X，它们组成 X 上的 一个 层空间 (LF, p)；第二步：然后再从 层空间 (LF, p) 构造 出 一个层 ΓLF

可将 F 层化 为 一个 层 ΓLF。

这个层化出来的 层，不仅 具有 前面 提到的 良好性质（由于 p 自然 就有 局部同胚性），而且 通过 进一步 分析 层（预层、层空间） 之间的关系，我们 可以 证明：

层化出的 层 ΓLF 是从 F 出发所能创造出的 层中 “最好” 的 那个；

这将是我们的 下一篇 的核心内容。

最后，需要说明：以上 构造过程 是 集合的预层 的层化，对于 Abel群的预层 的层化，小石头将在后续文章中详细介绍。

附录：

拓扑空间之间的映射 f : X→Y，若将 开集 映射回 开集，即，

∀ V ⊆ Y 是开集 ⇒ f⁻¹(V) 是开集

则称 f 是连续的（等价定义：对于任意 x∈X，总存在 f(x) 的邻域 V，使得 f⁻¹(V) 是 x 的邻域）。

反过来，若将 开集映射到开集，即，

∀ U ⊆ X 是开集 ⇒ f(U) 是开集

则称 f 是开的。一个 既连续又开的 双射（也就是 f 和 f⁻¹ 都是 连续的 或 开的 双射），称为 同胚。

非空集合 X 的 一个子集族 ℬ，如果满足：

ℬ 覆盖 X；对于 任意 U, V ∈ ℬ 以及 任意 x ∈U ∩ V，都存在 W ∈ ℬ 使得 x ∈ W ⊆ U ∩ V；

则称 ℬ 是 集合 X 的 拓扑基。通过 拓扑基 可以生成如下拓扑结构：

τ = { W | ∃ ℛ ⊆ ℬ, W = ∪ℛ }；

使得 X 升级为 一个拓扑空间。

反过来，若 X 本来就是拓扑空间，而 ℬ 刚好生成了 X 的 拓扑结构，此时 称 ℬ 是 拓扑空间 X 的 一个拓扑基，有定理：

ℬ 是 拓扑空间 X 的一个 拓扑基，当且仅当，对于任意 x ∈ X 的任意 领域 N，都存在 W ∈ ℬ 使得 x ∈ W ⊆ N；

（层化中的证明需要 一些 《拓扑学》知识，小石头将其放在 附录里面，当以这里仅仅只是引用，更详细的知识大家可参考相关教材。）

（下一篇 我们 讨论 层间关系 —— 层态射，态射概念的 引入 标志着 我们的讨论 将要 进入 范畴论 阶段，对 《范畴论》 有兴趣的朋友，敬请期待！）

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