锐角三角形的网格(网格中的三角函数问题)

导语：别具一格，说说网格中的锐角三角函数的综合问题求解策略

谈起角度的大小，也许像30°、45°、60°等这种特殊角可以用"一眼法"看出，一般角度的大小我们还是要借助传说中的三角函数．就初中阶段而言，三角函数的门槛不高，只要求大家知道：三角函数值随角度的大小而确定，反过来，角的三角函数确定，角的大小也随之确定！

如果让你求出任意两条线段所成锐角的度数，相信你一定会来一句，"怎么可能?你在开玩笑？"但如果我把这两条线段放在格点上，情况就完全不一样了．这时角度被格点确定下来，而它的大小自然可以通过格点的位置来求．今天我们就来看看如何求格点中线段所成锐角的大小．

讲题之前，我们还是要搞清楚格点到底提供了什么?有了网格，线段可以通过平移在网格上任意驰骋，而且格点还可以提供很多相似三角形（全等三角形），从而造就三角函数中最直接、最重要的直角三角形．

例１．问题呈现：

如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点D，N和E，C，DN和EC相交于点P，求tan∠CPN的值．

方法归纳：

求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形．观察发现问题中∠CPN不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点M，N，可得MN∥EC，则∠DNM=∠CPN，连接DM，那么∠CPN就变换到Rt△DMN中．

问题解决：

（1）直接写出图1中tan∠CPN的值为______ ；

（2）如图2，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，求cos∠CPN的值；

思维拓展：

（3）如图3，AB⊥BC，AB=4BC，点M在AB上，且AM=BC，延长CB到N，使BN=2BC，连接AN交CM的延长线于点P，用上述方法构造网格求∠CPN的度数．

【分析】（1）连接格点M，N，可得MN∥EC，则∠DNM=∠CPN，连接DM，那么∠CPN就变换到Rt△DMN中．

（2）如图2中，取格点D，连接CD，DM．那么∠CPN就变换到等腰Rt△DMC中．

（3）利用网格，构造等腰直角三角形解决问题即可；

【解答】（1）如图1中，∵EC∥MN，∴∠CPN=∠DNM，∴tan∠CPN=tan∠DNM，

∵∠DMN=90°，

∵CD∥AN，∴∠CPN=∠DCM，

∵△DCM是等腰直角三角形，∴∠DCM=∠D=45°，

∵PC∥HN，∴∠CPN=∠ANH，

∵AH=HN，∠AHN=90°，∴∠ANH=∠HAN=45°，∴∠CPN=45°．

【点评】本题考查三角形综合题、平行线的性质、勾股定理、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．

例２.数学老师布置了这样一个问題：

如果α，β都为锐角．且tanα=１/3，tanβ=1/2．求α+β的度数．

甲、乙两位同学想利用正方形网格构图来解决问题．他们分别设计了图1和图2．

（1）请你分别利用图1，图2求出α+β的度数，并说明理由；

（2）请参考以上思考问题的方法，选择一种方法解决下面问题：

如果α，β都为锐角，当tanα=5，tanβ=2/3时，在图3的正方形网格中，利用已作出的锐角α，画出∠MON，使得∠MON=α﹣β．求出α﹣β的度数，并说明理由．

【分析】（1））①如图1中，只要证明△AMC≌△CNB，即可证明△ACB是等腰直角三角形．

②如图2中，只要证明△CEB∽△BEA，即可证明∠BED=α+β=45°．

（2）如图3中，∠MOE=α，∠NOH=β，∠MON=α﹣β，只要证明△MFN≌△NHO即可解决问题．

【解答】解：（1）①如图1中，

在△AMC和△CNB中，

∴△AMC≌△CNB，∴AC=BC，∠ACM=∠CBN，

∵∠BCN+∠CBN=90°，∴∠ACM+∠BCN=90°，

∴∠ACB=90°，∴∠CAB=∠CBA=45°，∴α+β=45°．

②如图2中，设正方形边长为1，则CE=1，AE=2，BE=√2，

∵∠CEB=∠AEB，∴△CEB∽△BEA，∴∠CAB=∠CBE=α，

∵∠BED=∠ECB+∠CBE=α+β，

∴DE=DB，∠D=90°，∠BED=45°，∴α+β=45°．

（2）如图3中，∠MOE=α，∠NOH=β，∠MON=α﹣β．

在△MFN和△NHO中，

∴△MFN≌△NHO，∴MN=NO，∠MNF=∠NOH，

∵∠NOH+∠ONH=90°，∴∠ONH+∠MNF=90°，

∴∠MNO=90°，∴∠NOM=∠NMO=45°，∴α﹣β=45°．

【点评】本题考查了作图应用与设计图，全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，根据函数值作出直角三角形是解题的关键，属于中考创新题目．

窥一斑而见全豹，不知大家有没有发现，格点中角度问题的解决往往免不了"开疆拓土"，很多时候我们需要将网格补全．这样一来，角度的计算就有了施展的空间，不再束手束脚．通过上述例题的介绍解决此类问题的两种方法也就呼之欲出：

1、直接法——构造含已知角的直角三角形；

2、间接法——通过平移将角度转化．

心有多大，舞台就有多大！希望大家不要被问题中的网格所限制，努力成就自己的"别具一格"！

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