搜索
写经验 领红包
 > 电器

牛顿在瘟疫期间(牛顿在躲瘟疫时在做什么)

导语:在瘟疫的3年里,牛顿领悟到了广义二项式定理的规律

牛顿(Isaac Newton)在回到家乡躲避瘟疫的三年里做出了很多重要的贡献, 比如:发现万有引力定律,发明微积分。这些贡献是大众熟知的,在很多的科学文献以及课本中都能看到这些内容的介绍, 其实在那三年里牛顿在代数学上也做出了一个很杰出的成果,这个成果就是:广义二项式定理。

牛顿

广义二项式定理虽然没有万有引力定律以及微积分那样让大众熟知,但是在代数学中确有着非常重要的应用,这个定理可以帮助我们理解无穷级数。这个定理的内容如下图所示:

牛顿广义二项式定理

莱昂哈德·欧拉

这一定理是帕斯卡二项式定理的推广,更一般的情况是任意实数次的情况,虽然牛顿在1664年至1665年这一段时间给出了这个定理,但是却没有给出证明,所以严格地讲在牛顿的时代这一命题只能说是猜想,有理数次幂的情况的证明由莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)完成,他为了证明牛顿的命题首先构造了一个函数f性质如下图所示:

欧拉构造的函数

我们知道当m与n为正整数时,我们得到的是帕斯卡的二项式定理,我们可以把这些展开式写成如下图形式,我们之所以可以写成无限项的形式是因为如果(x+1)的n次幂的展开式如果进行升幂排列,第n+2项开始系数将会出现(n-n)这个因子,所以之后的项都为0了,因此上图的内容可知在n或m为正整数时展开式为有限项 。

如果m与n为正整数,那么根据帕斯卡的二项式定理可以将f(m)与f(n)写成如下图的形式:

帕斯卡二项式定理应用

由上图我们知道当m和n为正整数时,f(m)乘f(n)等于f(m+n),我们知道当f(m)乘f(n)相当于是做了如下所示的乘法:

欧拉证明广义二项式定理核心法则

由上图可知,当整数m与n替换为有理数m1与n1时(甲)这一行的左右两边是相等的,这是一个基本的代数学原理!因此我们得到了f的更多的性质,欧拉就是利用上图展现的法则巧妙地证明了牛顿广义二项式定理!

当m与n为任意的有理数时,根据f的性质可知下图所示的结论:

函数f的性质推广

欧拉首先考虑的是正有理数次幂的情况,我们知道任何的正有理数q都可以表示成k/h的形式,其中k与h都是正整数,根据函数f的性质我们可以得到当函数自变量为k/h时函数的展开式,接着欧拉利用函数f性质的结论建立了f(q)与f(k)之间的关系,因为f(k)的展开是(1+x)的 k次幂的展开,而(1+x)的 k次幂等于f(q)的h次方,因此我们可以求得f(q)等于(1+x)的 k次幂的h次方根,因此证明了正有理数次幂情况下的二项式定理,具体步骤如下图所示:

正有理数次幂二项式定理证明

为了证明当二项式幂指数为负有理数时的情况,实际上我们只要研究当f(-n)与f(n)的关系就可以了,其中n为正有理数,具体的推导过程如下图所示:

这样欧拉就证明了当二项式幂指数为有理数时的广义二项式定理!

牛顿提出了广义二项式命题,而欧拉证明了这一命题使之成为定理,两位数学家虽然不是生活在同一时代,但是都对二项式定理的研究做出了自己的贡献,可谓是一次跨时空的合作!

本文内容由快快网络小迪整理编辑!