求二面角的高考题(高中数学立体几何二面角大题经典例题及答案)

导语：二面角的高考试题，可难可易，立体几何最热题型之一

二面角是立体几何中每年必考的重要内容之一，求解方法主要是作出二面角的平面角，通过解三角形而求角，然而，由于高考试题中二面角问题情景设计的多样性，使得求解二面角成为难点。

求二面角大小是历年高考的热点问题，每年各省、市的高考试题中几乎都会出现此类题型。

所谓二面角，是指由一条直线出发，两个半平面组成的图形，它是我们高中数学知识的重点。

从现阶段来看，很多同学尚未掌握到平面与平面的二面角正确求解方式。

现在，综合学习经验，归纳出二面角的几个求解方式，让所有同学都能够高效完成二面角知识的学习，具备一定的二面角问题解题能力，更好的解决日常学习中所遇到的二面角求解问题，希望都能借此攻克高考大关，取得优异的成绩。

典型例题分析1：

如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°

（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；

（Ⅱ）若AB=CB=2，A1C=√6，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．

证明：（Ⅰ）如图，

取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B．

因为CA=CB，所以OC⊥AB．

由于AB=AA1，∠BAA1=60°，故△AA1B为等边三角形，

所以OA1⊥AB．

因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C．

又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C；

（Ⅱ）解：由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，

所以OC=OA1=√3．

又A1C=√6，则A1C2=OC2+OA12，故OA1⊥OC．

因为OC∩AB=O，

所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．

又△ABC的面积S△ABC=√3，

故三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=S△ABC×OA1=√3×√3=3．

考点分析：

直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积．

题干分析：

（Ⅰ）由题目给出的边的关系，可想到去AB中点O，连结OC，OA1，可通过证明AB⊥平面OA1C得要证的结论；

（Ⅱ）在三角形OCA1中，由勾股定理得到OA1⊥OC，再根据OA1⊥AB，得到OA1为三棱柱ABC﹣A1B1C1的高，利用已知给出的边的长度，直接利用棱柱体积公式求体积．

​典型例题分析2：

如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，设AC与BD相交于点O，若∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．

（1）求证：FC∥平面EAD；

（2）求二面角A﹣FC﹣B的正弦值．

解：（1）证明：∵四边形ABCD与BDEF均为菱形，

∴AD∥BC，DE∥BF．

∵AD⊄平面FBC，DE⊄平面FBC，

∴AD∥平面FBC，DE∥平面FBC，

又AD∩DE=D，AD⊂平面EAD，DE⊂平面EAD，

∴平面FBC∥平面EAD，又FC⊂平面FBC，

∴FC∥平面EAD．…

考点分析：

二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．

题干分析：

（1）证明AD∥BC，DE∥BF．推出AD∥平面FBC，DE∥平面FBC，然后证明平面FBC∥平面EAD，即可证明FC∥平面EAD．

（2）连接FO、FD，说明△DBF为等边三角形，证明AC⊥FO，FO⊥平面ABCD，OA、OB、OF两两垂直，建立空间直角坐标系O﹣xyz，设AB=2，求出相关点的坐标，求出平面BFC的一个法向量，平面AFC的一个法向量，设二面角的平面角为θ，利用空间向量的数量积，求解二面角A﹣FC﹣B的正弦值．

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