已知解集求字母系数的值或取值范围(已知解集求字母系数的取值范围)

导语：已知解集求字母系数

已知不等式的解集问题有如下两种类型——

一、已知解集，求字母系数的取值范围

例1 已知关于x的不等式ax+1>a+x的解集是x<1，求a的取值范围.

【解析】先把不等式化为ax-x>a-1，即(a-1)x>a-1，

两边除以(a-1)，当a-1>0时，得解集为x>1；当a-1<0时，得解集为x<1.

由已知，解集为x<1，所以a-1<0，a<1.

【点评】不等式两边除以一个正数，不等号方向不变；除以一个负数，不等号方向改变.根据已知的解集，观察不等号方向是否改变是问题求解的关键.

二、已知解集，求字母系数的值

例2.已知关于x的不等式2x+3m<3x+2m-1的解集是x>3，求m的值.

【解析】这类问题有两种解法，一是先解不等式求解集（用含m的代数式表示），再把求得的解集与已知的解集作比较；二是根据不等式解集与方程的关系，直接将解集的界点数代入不等式得方程.

解法一：解不等式，得：

2x-3x<2m-1-3m，

-x<-m-1，x>m+1，

因为解集为x>3，所以m+1=3，m=2.

解法二：因为不等式2x+3m<3x+2m-1的解集是x>3，

所以方程2x+3m=3x+2m-1的解是x=3，

所以6+3m=9+2m-1，整理，得：m=2.

【点评】如果关于x的不等式ax>b（或ax<b）的解集是x>m或x<m，则方程ax=b的解是x=m.

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