构造基本不等式的方法(基本不等式构造不等式)

在生活中，很多人可能想了解和弄清楚高一数学一一构造基本不等式求最值(1)的相关问题？那么关于构造基本不等式的方法的答案我来给大家详细解答下。

构造基本不等式求最值

(1)当a>0,b>0且ab为定值时,有a+b≥2√ab(定值)・当且仅当a=b时,等号成立,此时a+b有最小值；

(2)当a>0,b>0且a+b为定值时,有ab≤(a+b╱2)²(定值),当且仅当a=b时,等号成立.此时ab有最大值。

即“积"定“和”最小；“和"定“积"最大。

说明基本不等式具有将“和式”转化为“积式”,或将“积式”转化为“和式”的放缩功能,在使用基本不等式求最值时,必须具有三个条件:

①正②定③相等

①在所求最值的代数式中,各变量均是正数

②各变量的和或积必须为常数,以确保不等式一边为定值;

③等号能取到.即“当且仅当"。

一、构造基本不等式求最小值。“积"定“和”最小。

解题思路：构造“积定"。“互为倒数的两个数的积为1”就是定值的常用模型。

例：求函数f(X)=X+4/X(X>0)的最小值。

[思路探寻]：“①正”满足，X·4/X=4定值“②定”满足。

[解析]f(Ⅹ)=X+4/Ⅹ≥2√X·4/X=4，当且仅当X=4/X即X=2时等号成立。

故当x=2时f(X)取最小值4。

[延展①]：已知x>一1，求f(X)=X+1/(X+1)的最小值。

[思路探寻]：X>一1，X+1>O，“①正”满足，构造倒数(X+1)·1/(X+1)=1“②定”满足。

[解析]：f(X)=……=(X+1)+1/(X+1)一1≥1。当且仅当X+1=1/(Ⅹ+1)即X=O时等号成立。

[延展2]：已知Ⅹ>一1，求函数

y=(X²+7X+1O)/(x+1)的最小值。

[思路探寻]：X>一1，X+1>0，“①正"满足，X²+7X+10=(X+1)²+5(X+1)+4，把(X+1)当作一个整体，构造倒数关系得积为定值，“②定"满足。y=(X+1)+4/(X+1)+5≥(略)

[延展③]已知X>0，y>0，且1/X+9/y=1，求Ⅹ+y的最小值。

[思路探寻]本题看似满足①正②定，但都用不上，关键还是构造定值，充分利用“1”来解题。

[解析]：X+y=(X+y)(1/X+9/y)=10+9X/y+y/X≥10+2√9=16，当且仅当9x/y=y/Ⅹ即Ⅹ=4，y=12时等号成立。

故当X=4，y=12时，X+y取最小值16。

[思路探寻2]消元构造定值求解。

由1/X+9/y=1，得X=y/(y一9)

∵X>0，y>0，∴y>9，y一9>0，

X+y=……y一9+9/(y一9)+10=……

[思路探寻3]：由X>0，y>0，1/X+9/y=1，得y+9X=Xy，(X一1)(y一9)=9(定值)

X+y=(X一1)+(y一9)+10≥……

我是数学山人行，欢迎关注！！！

温馨提示：通过以上关于高一数学一一构造基本不等式求最值(1)内容介绍后，相信大家有新的了解，更希望可以对你有所帮助。