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知无涯者中的数学知识(知无涯者是什么意思)

导语:《知无涯者》:靠直觉发现定律的数学家——拉玛努金

什么!直觉主义,我们辛辛苦苦都证明了的定律,拉玛努金就靠直觉“想”出来?

拉马努金究竟在数学史上作出了什么贡献呢?片中,他最吸引了哈代和好友利特尔伍德的,也是他自己最重视的成果,一直要哈代帮他发表的是“质数定理”:我甚至建立了一个函数恰好代表了以无穷级数的形式代表的小于X的质数。等于说只要我们提供一个数字,不管多大,他提供的公式都可以计算出到底比它小的有多少个质数。这个定理的确很吸引人,可能在比较小的数字上,这个公式成立,但是最终利特尔伍德通过代入检验,证明了是错误的。这个公式可能在形式上很美,所以很吸引数学大师,但是拉马努金并不能够提供传统意义上的“证明”。最终帮助拉马努金获得三一学院的院士资格的是他的“整数拆分”,具体什么意思呢?影片也提供了一定的描述。简单的我们可以理解的拆分是这样的,4的划分等于5,意思就是4的组合方式有五种:1+1+1+1,3+1,2+1+1,2+2,和 4。看起来很简单啊。但是如果把划分的数字涨到100,就会有204226种不同的方法。数学家麦克马洪用了几周手算出来的。现在他能用公式解决,代入任意一个数,就能得出拆分的结果,就像变魔法一样。幸好在哈达的帮助下,拉马努金最终成功的证明了他的“整数拆分”公式。

不过,拉马努金的公式有个问题,很大的问题,就是“没有证明”。而证明它得会耗尽一生啊。证明了其中某一条可能都足以名垂千古,但是对于哈代,也有个“名誉”的问题:你大可花余生去证明这里面一半的公式,那样你就不会有任何独创性发现了。按理说,拉马努金得自己把它们证明了才行,但是他不行。为什么?他不是没有掌握证明的方法,虽然之前可能也存在证明能力的缺陷,之后可能没有时间。但是最关键是“证明这一方式与其天性向悖”。为什么?

因为拉马努金是个虔诚的信徒,他是印度最高等级的种族(尽管贫穷)——婆罗门,是负责祭祀神明的种族。他非常虔诚,甚至用他的话说那些公式来自于家族供奉的女神,是毗湿奴的第四化身纳马吉里。之前哈代也很奇怪,他能够写下那么多的公式来,完全就是靠“直觉”。他开始不愿意说,只是回答不知道,因为他知道哈代是个“无神论者”。直到他充分感受到哈代对自己的友谊很真诚,他才说:你曾想知道我是如何才有这些灵感的,我的神——纳马吉里,是她对我说的。我熟睡时,她把那些公式放在我的舌头上,有时是在我祈祷时。正因为之前他不愿意说,后来才说,所以连哈代也相信他是诚实的。但是,我们站在我们的角度还是很难理解,这不是在颠覆我们的“信仰”吗?首先,我们应该站在哈代的角度来理解,哈代是个“无神论者”。正如他自己所说:我在上学时,记得一位牧师说:“上帝是存在的,因为他就像只风筝。你能感觉到线上的拉力,就会明白他高高在上。”而我说:“要是没风,风筝还能飞吗。”不……我不信上帝。我也不信什么东方古老智慧。但我的确相信你。很明显,哈代并没有动摇自己的信仰,正如拉马努金没有动摇自己的信仰一样。要明白,哈代相信拉马努金,是相信他所展示的“神迹”。接着,我们再以“顽固唯物主义”的角度继续探讨其中奥妙。从浅层次来看,现实世界里本来就存在很多相似的“天才”。而拉马努金一直都展示着这种天才:他在当会计时,根本就不用算盘,直接用心算。他在和麦克马洪比赛心算“58639”的平方和平方根,两人都可以直接说出来,比计算机还快。更重要的,不仅存在一种内在的“运算天赋”,拉马努金还可以直接地对“数”进行具体的分析。哈代在送拉马努金时,遇到出租车迷路,就抱怨车牌号“1729”太蠢。的士拉马努金当即告诉他:不,哈代,这号码很有趣。在可以用两个立方之和来表达,且有两种表达方法的数中,1729是最小的。想想看,我们即使是顺着来计算都恐怕毫无头绪,拉马努金可是倒着就把数分析清楚了。这种能力很明显是更高一个层次。不仅如此,他能够直接跳跃到结果,在剑桥三一学院,哈代把他送到数学家霍华德的课堂上去,结果拉马努金被叫上了讲台,完成霍华德在讲解的题目,他直接就写出了答案,没有任何过程。霍华德大吃一惊:但我还没有完全证明,那你怎么知道的。拉马努金说:我不知道,就这么写下来了。很明显,他具备直接描述规律的能力。以至于利特尔伍德这么评价:拉马努金的存在不亚于一个奇迹,他的才华已经超乎了我的想象,不要说雅克比了,他甚至能比得上牛顿。我现在开始相信,对于拉马努金,每一个正整数都是他的一个好朋友。既然拥有这样的“天赋”,在无穷无尽的数字中,找到规律,并且用公式描述出来,并不奇怪。用这种方式来理解,拉马努金的天赋,真的就是神迹,不管我们不是认为神创造了他,而是自然存在着这样的天才,自然创造了他。(至于自然为什么存在这样的人,我认为最大的可能就是“宇宙全息论”。把全人类的所有历程当成一个全息照,我们每个人都包含有整个宇宙的信息,只是因为我们相对太渺小,所以我们显示出来的信息总有缺陷。就像一面镜子里有个世界,镜子打碎了,每个碎片也都能够展现那个世界,只是有缺陷而已。当然这种见解似乎也在暗示一个统一科学与宗教的理论:神就是宇宙一切,我们都是神的一部分,我们每个人都能够记录整体,但是却只是展示出一部分来)。

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