只用直尺作图(如何用直尺画曲线)

导语：单直尺作图专题：作图原理 - 卡拉数学

尺规作图历史悠久，影响深远，特别是古希腊三大几何难题更是吸引了无数数学爱好者，尺规作图看似简单，其实奥妙无穷，具有挑战性，能够培养数学思维和数学能力。随着人们数学水平的提高，从最开始的尺规作图，又引发出了单规作图、单尺作图等更高难度的作图。

我们这个专题要研究的是单直尺作图。是的，你没看错，没有圆规，只有直尺，而且直尺没有刻度，直尺只有一条边能画直线或线段，你能想象其中的困难吗。

是不是很有趣，来让我们先从一小段历史开始吧。

用直尺、圆规解几何作图问题，是一种传统的规定，它是根据几何公理确定的。关于限制工具的作图问题，数学家们进行过许多研究，如尺规作图问题，尺规作图不能问题，单直尺或者单圆规作图问题，即只用一个直尺或只用一个圆规进行作图， 得出了一些重要的结果。

人们往往认为允许使用工具种类越多，则能解的作图题范围越广，所允许使用的工具越少，则能解的作图题的范围便将缩小，其实并不如此。意大利数学家马奢罗尼(L.Mascheroni, 1750-1800)在1799年发表了他的著作《圆规几何学》，在这里他提出了所谓单圆规作图法。他证明了，如果我们认为“在平面上两点得到确定时，则过此两点的直线就被确定”，这时，所有用直尺和圆规能解的作图问题，用单圆规便都能作出。因为初等几何的作图，实际上是确定点的问题，用直尺和圆规所能确定的点，不外三种情形:

（1）直线与圆的交点；

（2）直线与直线的交点；

（3）圆与圆的交点。

这三种情形得到完成，用作图公法就都能得到完成。用单圆规可以完成（2），如果能用单圈规进行（1）、（2）两种情形的作图，则上述“在平面上两点得到确定时，则过此两点的直线就被确定”中的结论就可得到证明。现在将（1）、（2）改述如下的形式:

（1）求作已知圆O (OA)与过二定点B、C的直线的交点。

（2）求作过二定点A、B的直线与过二定点C、D直线的交点。

马奢罗尼证明了这两个作图是可能的。因此，凡用直尺圆规能作的作图题，用单圆规都能作出。看到这个结论，如果考试时，你忘记带直尺，有一把圆规也足以救命哦。

法国的数学家彭赛列(Poncelet)在1822年，曾在他的著作《图形的射影性质》里，论述了“在平面上已知一圆及其圆心时，则直尺和圆规能解的作图问题，只用直尺就能得解”。当然，这里所说的圆的确定，只要知其圆心及圆周上的一点就可以了。这一事实，在1833年斯太纳(Steiner，德)的著作《一个定圆与直线可解的几何作图》里，有进一步的论述。因此，单直尺作图问题，是彭赛列和斯太纳共同完成的。为了证明单直尺作图的可能，只要能解下列的两个作图就可以了.

（1）求已知圆心为A及该圆周上一点B的圆与定直线g的交点。

（2）已知四点A、B、C、D时，求圆A(AB)与C(CD)的交点。

而这两个作图，被证明是可能的，因此单直尺的作图效能，也与直尺圆规相同。

综上所述，我们的直尺+圆规作图，其实仅仅用直尺，或仅仅用圆规，都是可以实现的，有没有突破你的常识，我们接下来的连载专题，就会介绍直尺作图的有趣方法，非常考验几何能力哦，快来跟我们一起学习吧

本自媒体长期分享数学趣题、解题技巧，致力于数学科普和拓展数学思维，每日定更，觉得内容有兴趣的可以长期关注哦！

本文内容由快快网络小迪整理编辑！